Ricevo da Giancarlo la seguente domanda:
Salve professore,
mi può risolvere questo problema?
Una conica passa per i punti \(A(3;3)\), \(B(9/7;3)\), \(C(3;9/7)\) e ha come direttrice la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Determina le coordinate del fuoco associate a tale direttrice e scrivi l’equazione della conica.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Giancarlo,
poiché il fuoco appartiene necessariamente ad una retta perpendicolare alla direttrice rispetto alla quale la conica risulta simmetrica, e tale retta non può che essere \(y=x\), essendo \(B\) e \(C\) simmetrici rispetto ad essa, il fuoco deve essere un punto del tipo \(F(a,a)\). Per definizione, il rapporto \(PF/PH\), dove \(PH\) indica la distanza di \(P\) dalla direttice, deve essere lo stesso per ogni \(P\) appartenente alla conica, per cui, considerati i punti \(A\) e \(C\), si deve avere: \[\frac{AF}{AH}=\frac{CF}{CH}\to \frac{\left| 3-a \right|}{3}=\frac{7\sqrt{2}\sqrt{{{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{\left( 9/7-a \right)}^{2}}}}{30}\to \]\[\to 100{{\left( 3-a \right)}^{2}}=98{{\left( 3-a \right)}^{2}}+2{{\left( 9-7a \right)}^{2}}\to \left| 3-a \right|=\left| 9-7a \right|\to \]\[\to a=1\ \vee \ a=\frac{3}{2}\to {{F}_{1}}\left( 1,1 \right)\ \vee \ {{F}_{2}}\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2} \right)\quad .\] Ne consegue che \(\frac{AF}{AH}=\frac{2}{3} \vee \frac{AF}{AH}=\frac{1}{2}\), da cui si evince che le due coniche sono ellissi (l’eccentricità è minore di \(1\)), di equazioni: \[\frac{2\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}\to 7{{x}^{2}}-4xy+7{{y}^{2}}-18x-18y+18=0\]\[\frac{2\left( {{\left( x-2/3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2/3 \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=\frac{1}{4}\to 7{{x}^{2}}-2xy+7{{y}^{2}}-24x-24y+36=0\quad .\]
Massimo Bergamini
