Ricevo da Carmen la seguente domanda:
Salve professore,
potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema (n.65, pag.19, Verso la seconda prova di Matematica)?
Nel piano cartesiano è riportato il motivo a petalo di fiore rappresentato in figura su una 
piastrella quadrata di lato \(3\;dm\). Il profilo superiore \(OAB\) del petalo è rappresentato da una funzione del tipo \(f(x)=a\log_2(x+k)\), con \(a, k>0\) e \(x\in\left[ 0;3 \right]\). Il profilo inferiore \(OCB\) è simmetrico a quello superiore rispetto alla bisettrice del primo quadrante.
a. Determina i valori di \(a\) e \(k\).
b. Determina l’espressione analitica della funzione che rappresenta il profilo inferiore del petalo.
c. Calcola l’area racchiusa dal petalo.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Carmen,
imponendo che si abbia \(f\left( 0 \right)=0\) e \(f\left( 3 \right)=3\), si ha: \[a{{\log }_{2}}k=0\leftrightarrow k=1\quad \to \quad a{{\log }_{2}}\left( 4 \right)=3\leftrightarrow a=\frac{3}{2}\] per cui \(f\left( x \right)=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\) e quindi, operando lo scambio \(x\leftrightarrow y\) rappresentato dalla simmetria rispetto alla bisettrice del quadrante, si ottiene la funzione inversa \[x=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)\to y+1={{2}^{\frac{2}{3}x}}\to y={{2}^{\frac{2}{3}x}}-1\quad .\] Per calcolare l’area \(S\) racchiusa dal petalo possiamo sfruttare la simmetria e porre\[S=2\int\limits_{0}^{3}{\left( x-{{2}^{\frac{2}{3}x}}+1 \right)dx}=2\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}+x \right]_{0}^{3}-2\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{\frac{2x\ln 2}{3}}}dx=}\]\[=15-\frac{3}{\ln 2}\left[ {{2}^{\left( 2x/3 \right)}} \right]_{0}^{3}=15-\frac{9}{\ln 2}\;dm^3\quad .\]
Massimo Bergamini
