Ricevo da Roxana la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a capire come risolvere questo problema.
Considera la famiglia di funzioni di una variabile reale definita per \(x>0\) da \(f(x)=2+kx+\ln x\), dove \(k\) è un parametro reale.
a) Dimostra che per ogni \(k\ge 0\) la funzione è invertibile.
b) Per \(k=1\) nella famiglia di funzioni data, ottieni la funzione \(h\). Indica con \(g\) la funzione inversa di \(h\). Calcola \(g’(3)\) e determina l’equazione della retta tangente al grafico di \(g\) nel punto di ascissa \(3\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Roxana,
essendo la funzione \(f(x)=2+kx+\ln x\) derivabile in tutto il suo dominio \(x>0\), ed avendo derivata \(f’\left( x \right)=k+\frac{1}{x}\), è evidente che, per ogni \(k\ge 0\) e per ogni \(x>0\), si ha \(f’(x)>0\), per cui la funzione risulta monotona crescente e quindi invertibile. Per \(k=1\) si ha in particolare: \[h\left( x \right)=2+x+\ln x\to h'\left( x \right)=1+\frac{1}{x}\] e poiché \[h\left( x \right)=3\leftrightarrow x=1\] si ha \[g\left( 3 \right)=1\quad \wedge \quad g'\left( 3 \right)=\frac{1}{f'\left( g\left( 3 \right) \right)}=\frac{1}{f'\left( 1 \right)}=\frac{1}{2}\] da cui l’equazione della retta tangente richiesta: \[y=\frac{1}{2}\left( x-3 \right)+1=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini
