Ricevo da Annalisa la seguente domanda:
Buongiorno,
potrei avere la soluzione del seguente esercizio (n.146, pag.45, “Verso la seconda prova di Matematica”)?
Esame di stato Per le tre prove scritte previste all’Esame di Stato, il presidente di commissione decide di numerare i posti e di fare estrarre in ognuna delle prove a ciascuno dei 35 candidati il numero del posto dove siederà.
a. Calcola la probabilità che un candidato estragga esattamente 2 volte il numero 1.
b. Calcola la probabilità che un candidato estragga esattamente 2 volte uno dei tre numeri 1, 2 o 3 (anche ripetuti), corrispondenti ai posti della prima fila.
c. Uno dei commissari osserva che 26 studenti non si sono seduti in prima fila in nessuna delle tre prove e si chiede se tale risultato è in accordo con il valore teorico della probabilità. Qual è il numero atteso teorico di candidati che non si siedono mai in prima fila?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Annalisa,
si tratta, in ciascun caso, di un esempio di distribuzione binomiale (prove ripetute).
a. Data la probabilità di “successo” \(p=\frac{1}{35}\), la probabilità che, su 3 tentativi, si abbiano esattamente 2 successi è data da:
\[{{p}_{a}}=\frac{3!}{1!2!}\cdot{{\left( \frac{1}{35} \right)}^{2}}\cdot \frac{34}{35}=\frac{3\cdot 34}{{{35}^{3}}}\approx 0,24\%\quad .\]
b. In questo caso la probabilità di “successo” è \(p=\frac{3}{35}\), per cui la probabilità che, su 3 tentativi, si abbiano esattamente 2 successi è data da:
\[{{p}_{a}}=\frac{3!}{1!2!}\cdot {{\left( \frac{3}{35} \right)}^{2}}\cdot \frac{32}{35}=\frac{27\cdot 32}{{{35}^{3}}}\approx 2,02\%\quad .\]
c. Anche in questo caso possiamo far ricorso a una distribuzione binomiale, associata alla variabile casuale “numero \(x\) di successi su \(n\) tentativi”, in cui il “successo” è rappresentato dall’evento: “non sedersi mai in prima fila”, che per ciascuno dei candidati ha la stessa probabilità \(p={{\left( \frac{32}{35} \right)}^{3}}\): il numero di candidati, 35, corrisponde in tal caso al numero \(n\) di tentativi, pertanto il valor medio della variabile casuale, cioè il valore atteso del numero di studenti che non si siedono mai in prima fila nel corso delle tre prove d’esame, è dato da: \[M=np=35\cdot {{\left( \frac{32}{35} \right)}^{3}}=\frac{{{32}^{3}}}{{{35}^{2}}}\approx 26,75\] in buon accordo con il valore effettivamente osservato.
Massimo Bergamini