Un problema di trigonometria

Ricevo da Jackelin la seguente domanda:
 
In una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) è condotta la corda \(AC\), lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza. Determinare sull’arco \(BC\) un punto \(P\) in modo che, condotta da \(P\) la paralella ad \(AB\) fino ad incontrare in \(Q\) la corda \(AC\) ed indicate con \(P’\) e \(Q’\) le proiezioni ortogonali di \(P\) e di \(Q\) su \(AB\), il quadrilatero \(PP’QQ’\) risulti un quadrato.
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Jackelin,
posto \(x=P\hat{A}B\), con \(0\le x\le \pi/6\), consideriamo il triangolo rettangolo \(PAB\): \[QQ'=PP'=AP\sin x=AB\cos x\sin x=2r\cos x\sin x\] \[QP=Q'P'=AP'-AQ'=2r{{\cos }^{2}}x-\frac{QQ'}{\tan \left( \pi /6 \right)}=2r\cos x\left( \cos x-\sqrt{3}\sin x \right)\] per cui la condizione \(QP=QQ’\) implica l’equazione:  \[2r\cos x\sin x=2r\cos x\left( \cos x-\sqrt{3}\sin x \right)\to \cos x=\left( 1+\sqrt{3} \right)\sin x\] cioè: \[\tan x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\to x=\arctan \left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)\approx 20,1{}^\circ \quad .\]
Massimo Bergamini