Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Gentile professore,
non ho saputo fare questi problemi:
1) In un triangolo di vertici \(A(0,5)\), \(B(3,-1)\), \(C(6,3)\), conduci da un punto \(P\) del lato \(AB\) la retta parallela al lato \(BC\) fino ad incontrare il lato \(AC\) nel punto \(Q\). Quali coordinate deve avere \(P\) affinchè le aree dei triangoli \(PAQ\) e \(BAC\) stiano fra loro come \(4\) sta a \(9\)?
2) Dati i punti \(A(-4,0)\) e \(B(2,2)\) trova per quali valori di \(k\) il punto \(C(2k-1,k+3)\) è il vertice del triangolo isoscele \(ABC\) di base \(AB\). Determina un punto \(P\) del lato \(AC\) tale che \(AP=7PC\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, osservando che i triangoli \(BAC\) e \(PAQ\) sono simili, e che se \(k\) è il rapporto di similitudine tra i loro lati, il rapporto tra le aree è \(k^2\), si tratta di ricavare \(P\) in modo che sia \(AP:AB=2:3\), cioè \(P\) deve avere coordinate \(x_P\) e \(y_P\) tali che: \[{{x}_{P}}-{{x}_{A}}=\frac{2}{3}\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)\to {{x}_{P}}=2\quad \quad {{y}_{P}}-{{y}_{A}}=\frac{2}{3}\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)\to {{y}_{P}}=1\quad .\]
Nel secondo caso, \(C\) è vertice di un triangolo isoscele di base \(AB\) se e solo se equidista da \(A\) e da \(B\), cioè:\[{{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}\to \]\[\to {{\left( 2k+3 \right)}^{2}}+{{\left( k+3 \right)}^{2}}={{\left( 2k-3 \right)}^{2}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\to k=-\frac{2}{7}\] cioè il punto cercato è \(C(-11/7,19/7)\). Il punto \(P\) cercato, infine, è tale che \(AP:AC=7:8\), cioè:
\[{{x}_{P}}-{{x}_{A}}=\frac{7}{8}\left( {{x}_{C}}-{{x}_{A}} \right)\to {{x}_{P}}=-\frac{15}{8}\quad \quad {{y}_{P}}-{{y}_{A}}=\frac{2}{3}\left( {{y}_{C}}-{{y}_{A}} \right)\to {{y}_{P}}=\frac{19}{8}\quad .\]
Massimo Bergamini