Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Spettabile professore,
pongo alla vostra attenzione un problema di trigonometria che mi ha messo in difficoltà:
Di un trapezio isoscele \(ABCD\) si conosce la base maggiore \(AB=2a\) e il fatto che la diagonale \(AC\) sia bisettrice dell’angolo \(B\hat{A}D\). Sapendo inoltre che \(AD\cong BC\cong DC\), si determini l’angolo \(B\hat{A}D\) in modo che il perimetro sia uguale a \(5a\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Francesca,
con riferimento alla figura, posto \(y=BC=DC=AD=HK\), e posto \(x=B\hat{A}D\), con \(0\le x\le \frac{\pi }{4}\), si ha che \(AK=HB=y\cos 2x\), per cui: \[2a=AB=AK+KH+HB=y(1+2\cos 2x)\to y=\frac{2a}{1+2\cos 2x}\] e pertanto la condizione sul perimetro si traduce nella seguente equazione:\[5a=2a+\frac{6a}{1+2\cos 2x}\to 1+2\cos 2x=2\to \cos 2x=\frac{1}{2}\] cioè: \[B\hat{A}D=2x=\frac{\pi }{3}\quad .\]
Massimo Bergamini
