Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come vengono calcolati gli asintoti di questa funzione?
\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}{{e}^{\frac{x}{x+1}}}}{x+1}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la funzione, definita e continua in \({{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}\), presenta i seguenti limiti significativi:
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \cdot e=-\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \cdot e=+\infty \] \[\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1\cdot {{e}^{\frac{-1}{{{0}^{-}}}}}}{{{0}^{-}}}=\frac{{{e}^{+\infty }}}{{{0}^{-}}}=\frac{+\infty }{{{0}^{-}}}=-\infty \quad \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\left( 1+t \right)}\cdot \frac{t}{{{e}^{t}}}=1\cdot 0=0\] dove nell’ultimo limite si è effettuata la sostituzione \(t=-\frac{x}{x+1}\).
Pertanto, la retta \(x=-1\) costituisce, almeno da sinistra, un 
asintoto verticale per il grafico di \(f(x)\); non esistono invece asintoti orizzontali, ma vi è la possibilità che esistano asintoti obliqui. A tal fine, calcoliamo i seguenti limiti:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{e}^{\frac{x}{x+1}}}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x+1}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{x}{x+1}}}=\]\[=1\cdot e=e\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-ex \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{e}^{\frac{x}{x+1}}}-e{{x}^{2}}-ex}{x+1}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}({{e}^{\frac{x}{x+1}}}-e)}{x+1}-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ex}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{e{{x}^{2}}({{e}^{-\frac{1}{x+1}}}-1)}{x+1}-e=\]\[=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{e{{x}^{2}}({{e}^{\frac{1}{x+1}}}-1)}{{{e}^{\frac{1}{x+1}}}\left( x+1 \right)}-e =-\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{e{{\left( 1-t \right)}^{2}}\left( {{e}^{t}}-1 \right)}{t{{e}^{t}}}-e=\]\[=-e\cdot \underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{e}^{t}}-1 \right)}{t}\cdot \underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1-t \right)}^{2}}}{{{e}^{t}}}-e=-2e\]
avendo posto \(t=\frac{1}{x+1}\). Poiché entrambi i limiti restano invariati 
anche per \(x\to -\infty \), possiamo dire che la retta \[y=ex-2e\] è asintoto obliquo per il grafico di \(f(x)\) ad entrambi gli estremi della retta stessa.
Massimo Bergamini