Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non riesco a risolvere questo problema:
Sia dato il cubo \(ABCDA’B'C’D'\), dove gli spigoli laterali misurano \(12a\). Sugli spigoli \(AB\) e \(AD\) si prendano rispettivamente i punti \(M\) e \(N\) tali che i segmenti \(AM\) e \(AN\) siano congruenti. Siano \(M’\) e \(N’\) le proiezioni di \(M\) e \(N\) sulla base \(A’B'C’D'\). Quale deve essere la misura di \(AM\) affinché il prisma retto \(AMNA’M'N’\) abbia l’area della superficie totale che misura \((256+96\sqrt{2})a^2\)?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
posto \(x=AM\), con \(0<x\le 12a\), si ha l’equazione: \[{{x}^{2}}+12a\left( \sqrt{2}+2 \right)x-\left( 256+96\sqrt{2} \right){{a}^{2}}=0\] da cui, tralasciando la soluzione negativa: \[x=-6a\left( \sqrt{2}+2 \right)+a\sqrt{472+240\sqrt{2}}=\]\[=-6\sqrt{2}a-12a+2a\sqrt{118+60\sqrt{2}}=\]\[=-6\sqrt{2}a-12a+2a\sqrt{{{\left(10+3\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\] \[=-6\sqrt{2}a-12a+2a\left( 10+3\sqrt{2} \right)=8a\quad .\]
Massimo Bergamini