Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore, umilmente un aiuto (n.14, pag.2120, Matematica.blu 2.0):
Un corpo di massa \(1\;kg\) è agganciato a una molla di costante \(k=4\;N/m\). Il sistema è appoggiato su un piano orizzontale. La molla viene allungata fino a \(0,2\;m\) dalla posizione di equilibrio. Se il corpo viene rilasciato e se su di esso agisce una forza di attrito di modulo \(F=hv\), con \(v\) velocità del corpo, quale deve essere il valore minimo di \(h\) affinché non vi siano oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio? Determina in tal caso la legge oraria del moto.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
stabilito sul piano orizzontale un asse di riferimento \(Ox\) orientato, con \(x\) espresso in metri e \(x(0)=0,2\), dalla legge di Hooke per la forza elastica abbiamo \({{F}_{E}}=-4x\); posto \(v=x’\), la forza di attrito, sempre opposta alla velocità, è \({{F}_{A}}=-hx’\), per cui, essendo \(m=1\;kg\), dall’equazione cardinale \(F=mx’’\) ricaviamo la seguente equazione lineare del secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti:\[x’’+hx'+4x=0\] la cui equazione caratteristica è \({{p}^{2}}+hp+4=0\): il discriminante \(\Delta ={{h}^{2}}-16\), posto che \(h\) sia positivo, risulta non negativo se \(h\ge 4\), cioè l’equazione non ammette soluzioni tipo seno e coseno se e solo se \(h\ge 4\). Posto \(h=4\), l’equazione caratteristica ammette come soluzione doppia \(t=-2\), per cui la soluzione generale dell’equazione differenziale è in tal caso: \[x\left( t \right)={{e}^{-2t}}\left( {{c}_{1}}+{{c}_{2}}t \right)\quad .\]
Le condizioni al contorno sono \(x(0)=0,2\), da cui \(c_1=0,2\), e \(x’(0)=0\), da cui \(-2c_1+c_2=0\), cioè \(c_2=0,4\); in conclusione, la legge oraria risulta: \[x\left( t \right)=0,2{{e}^{-2t}}\left( 0,2t+1 \right)\quad .\]
Massimo Bergamini