Ricevo la seguente domanda:

Caro professore,

le scrivo perché non ho alcuna idea su come impostare il seguente problema:

La numerosità di una popolazione di insetti è ben modellizzata dalla funzione: \[P\left( t \right)=\frac{8000}{1+40{{e}^{-0,2t}}}\]dove \(P(t)\) rappresenta il numero di insetti della popolazione e \(t\) è il tempo, misurato in mesi. Stabilisci dopo quanto tempo dall’inizio dell’osservazione (\(t=0\)) la velocità di crescita della popolazione inizia a diminuire. Esprimi il risultato in mesi e giorni, arrotondato ai giorni (assumi che un mese abbia 30 giorni).

Grazie.

Rispondo così:

Caro(a) anonimo(a),

la funzione \(P(t)\) è un esempio classico di quello che viene detto modello logistico di crescita di una popolazione: la funzione è sempre crescente ma la velocità di crescita, dapprima anch’essa crescente, ad un certo momento \(\bar{t}\), raggiunto un massimo, comincia a decrescere, portandosi asintoticamente verso zero, con conseguente tendenza della popolazione a stabilizzarsi asintoticamente verso un valore massimo costante. Per individuare l’istante \(\bar{t}\) si devono analizzare la funzione velocità di crescita \(v(t)\), cioè la derivata della funzione \(P(t)\):

\[v\left( t \right)=P'\left( t \right)=\frac{64000\cdot {{e}^{-0,2t}}}{{{\left( 1+40{{e}^{-0,2t}} \right)}^{2}}}\]e la funzione “accelerazione” \(a(t)\), cioè la derivata di \(v(t)\), ossia la derivata seconda di \(P(t)\):\[a\left( t \right)=v'\left( t \right)=P''\left( t \right)=\frac{64000\cdot {{e}^{-0,2t}}\left( 8{{e}^{-0,2t}}-0,2 \right)}{{{\left( 1+40{{e}^{-0,2t}} \right)}^{3}}}\]per concludere che, essendo \(a\left( t \right)=0\leftrightarrow {{e}^{-0,2t}}=\frac{1}{40}\to t=5\ln 40\), ed essendo \(a\left( t \right)>0\) per \(t<5\ln 40\) e \(a\left( t \right)<0\) per \(t>5\ln 40\), tale istante rappresenta un punto di flesso per il grafico di \(P(t)\), e la velocità \(v(t)\) presenta per \(\bar{t}=5\ln 40\) il massimo cercato, cioè:

\[\bar{t}=5\ln 40\approx 18,444\ mesi\approx 18\ mesi\ 13\ giorni\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Giovanni la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

non riesco a trovare il risultato esatto dei seguenti tre problemi:

1) Considerato il triangolo rettangolo isoscele \(ABC\) di cateti \(AB=AC=a\), detta \(AH\) l’altezza relativa all’ipotenusa, si tracci internamente all’angolo \(H\hat{A}B\) una semiretta con estremo in \(A\) fino a incontrare in \(E\) la parallela condotta per \(B\) alla retta \(AH\), indicando con \(D\) la sua intersezione con l’ipotenusa \(BC\), in modo che risulti: \(2DB+BE=kBC\) (\(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\)).

2) In un angolo di vertice \(V\) e ampiezza \(2x\) sono inscritte due circonferenze di raggi \(r\) ed \(R\) e centri \(O\) e \(O’\) (\(r<R\)), tangenti tra loro esternamente nel punto \(T\). Siano \(A\) e \(B\) i punti di tangenza con lo stesso lato dell’angolo. Verificare che l’angolo \(A\hat{T}B\)  è retto ed esprimere \(R\) per mezzo di \(r\) e \(x\). Verificare che la somma dei quadrati dei lati del triangolo \(ATB\) è uguale a \(8Rr\). Determinare infine l’angolo in modo che il perimetro del triangolo \(OAV\) sia \(kr\) (\(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\)).

3) Sia \(B\) il punto medio del segmento \(AC=4L\). Costruire la semicirconferenza di diametro \(AB\) e il triangolo \(BCD\), isoscele sulla base \(BC\) e avente altezza \(DH=(4L)/3\), in semipiani opposti rispetto alla retta \(AC\). Determinare poi una retta \(s\) passante per \(B\) che incontri la semicirconferenza in \(M\) e il lato \(DC\) in \(P\) in modo che risulti: \(AM+BM=kBP\) (\(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\)).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giovanni,

nel primo caso, posto \(x=H\hat{A}D=B\hat{E}D \), con \(0<x\le \frac{\pi }{4}\), si osserva che: \[AH=BH=\frac{\sqrt{2}}{2}a\quad DH=AH\tan x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan x\] \[DB=BH-DH=\frac{\sqrt{2}}{2}a\left( 1-\tan x \right)\]\[BE=\frac{DB}{\tan x}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\left( \frac{1-\tan x}{\tan x} \right)\] per cui l’equazione richiesta si traduce nella seguente, tenendo conto che \(0<\tan x\le 1\) nei limiti del problema: \[2{{\tan }^{2}}x+\left( 2k-1 \right)\tan x-1=0\quad .\] Posto \(X=\tan x\), \(Y={{X}^{2}}\), il problema si traduce nel seguente sistema geometrico-analitico: \[\left\{ \begin{array}{lll} Y=X^2 \\ 2Y+(2k-1)X-1=0 \\ 0<X\le 1 \end{array} \right.\] Poiché il fascio proprio di rette \(2Y+(2k-1)X-1=0\) ha centro \(0,1/2)\), ruota in senso orario, incontra l’estremo \((1,1)\) dell’arco di parabola per \(k=0\) e l’estremo \((0,0)\) per \(k=\infty\), si può concludere che il problema ammette una e una sola soluzione accettabile per ogni \(k\ge 0\).

Nel secondo caso, posto \(x=O\hat{V}A\), essendo isosceli i triangoli \(OTA\) e \(O’TB\), si osserva che  \[O\hat{T}A=\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2},O'\hat{T}B=\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}\] per cui         \[A\hat{T}B=\pi -\left( O\hat{T}A+O'\hat{T}B \right)=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\] cioè \(ATB\) è rettangolo. Inoltre:\[R=\frac{VB}{VA}r=\left( 1+\frac{AB}{VA} \right)r=\left( 1+\frac{R+r}{r}\sin x \right)r\to R=r\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\quad .\]Si ha inoltre:\[A{{B}^{2}}=OO{{'}^{2}}-{{\left( O'B-OA \right)}^{2}}={{\left( R+r \right)}^{2}}-{{\left( R-r \right)}^{2}}=4rR\]da cui segue \[A{{B}^{2}}+A{{T}^{2}}+B{{T}^{2}}=8rR\quad .\]Infine, poiché:\[VO=\frac{r}{\sin x},VA=VO=\frac{r\cos x}{\sin x},OA=r\]l’equazione richiesta diventa, per \(0<x<\frac{\pi }{2}\):\[\cos x+\left( 1-k \right)\sin x+1=0\]che, posto \(X=\cos x\), \(Y=\sin x\), si riduce al sistema \[\left\{ \begin{array}{lll} X+(1-k)Y+1=0 \\ X^2+Y^2=1 \\ 0<X,Y<1 \end{array} \right.\] che ammette una e una sola soluzione per \(k>2\), come si deduce dal fatto che il fascio di rette, di centro \((-1,0)\), ruota in senso orario.

Infine, nel terzo caso, posto \(\gamma= B\hat{C}D=C\hat{B}D=\arctan \frac{4}{3}\), \(x=C\hat{B}P\), con \(0\le x\le \gamma\), si ha:\[AM=2L\sin x,BM=2L\cos x,BP=\frac{2L\sin \gamma }{\sin \left( x+\gamma  \right)}\]cioè, essendo \(\sin \gamma =\frac{4}{5}\) e \(\cos \gamma =\frac{3}{5}\):\[BP=\frac{8L}{3\sin x+4\cos x}\quad .\] Ne consegue l’equazione richiesta:\[\left( \sin x+\cos x \right)\left( 3\sin x+4\cos x \right)=4k\to \cos 2x+7\sin 2x=8k-7\]che, posto \(X=\cos 2x\), \(Y=\sin 2x\), origina il seguente sistema:\[\left\{ \begin{array}{lll} X+7Y=8k-7 \\ X^2+Y^2=1 \\ -7/25\le X\le 1,0\le Y \le 1 \end{array} \right.\]da cui, ricavando le rette del fascio improprio di pendenza \(-1/7\) con l’arco di circonferenza goniometrica di estremi \((1,0)\) e \((-7/25,24/25)\), si ha che il problema ammette una soluzione per \(1\le k<42/25\), due soluzioni per \(42/25\le k\le (7+5\sqrt{2})/8\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Davide la seguente domanda:

Gent.mo prof. Bergamini,

avrei bisogno di un aiuto su un problema (n. 6, pag.344 Matematica.blu 2.0):

Data la parabola di equazione \(y=x^2-6x+8\), trova quale punto della retta \(y=-2x-1\) ha la distanza minima dalla parabola.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Davide,

conviene operare nel modo seguente: dato \(P(x,x^2-6x+8)\) generico punto della parabola, la sua distanza dalla retta \(2x+y+1=0\) è data dalla funzione \[d(x)=\left |(2x+x^2-6x+8+1\right |/\sqrt{5}=(x^2-4x+9)/\sqrt{5}\] dove il valore assoluto non è necessario in quanto il trinomio di \(2^\circ\) grado è sempre positivo; \(d(x)\) ha il suo minimo in corrispondenza del vertice della parabola che ne rappresenta il grafico, cioè per \(x=2\), corrispondente a \(P(2,0)\). Per ricavare il corrispondente punto sulla retta si tratta ora di ricavare la proiezione perpendicolare \(H\) di \(P\) sulla retta, cioè l’intersezione tra \(y=-2x-1\) e \(y=\frac{1}{2}(x-2)\), cioè \(H(0,-1)\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Marcello la seguente domanda:

Gentile professore,

le sarei grato se mi aiutasse a risolvere i seguenti esercizi (nn. 66, 68, 71 pag.1202 Matematica Azzurro):

Utilizzando la definizione di limite, verifica i seguenti limiti: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=1\quad\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}=4\quad\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+4}{x}=4\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Marcello,

posto che sia \(\varepsilon >0\) un numero reale piccolo a piacere, nel primo caso si tratta di verificare che esista comunque un intorno di \(x=0\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=0\) stesso, si abbia:\[\left| {{x}^{2}}-2x+1-1 \right|<\varepsilon \to \left| {{x}^{2}}-2x \right|<\varepsilon \to {{x}^{2}}-2x-\varepsilon <0\ \wedge \ {{x}^{2}}-2x+\varepsilon >0\to \] \[\to 1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1+\sqrt{1+\varepsilon }\ \wedge \ x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\ \vee \ x>1+\sqrt{1-\varepsilon }\to \] \[\to 1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\quad  \vee\quad 1+\sqrt{1-\varepsilon }<x<1+\sqrt{1+\varepsilon }\]

Il primo dei due insiemi, cioè \(1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\), rappresenta l’intorno di \(x=0\) cercato, per cui il limite risulta verificato. Si noti che l’insieme contiene anche un intorno di \(x=2\), il che dimostra che è anche \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=1\).

Nel secondo caso, verifichiamo che esista un intorno di \(x=2\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=2\) stesso, si abbia:           \[\left| \frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}-4 \right|<\varepsilon \to \left| x+2-4 \right|<\varepsilon \to \left| x-2 \right|<\varepsilon \]che si presenta immediatamente come l’intorno di \(x=2\) cercato; si noti la possibilità di semplificare il fattore comune nella frazione algebrica, dovuto al fatto che siamo interessati solo ai valori di \(x\) vicini a \(x=2\) ma non a \(x=2\) stesso, e tale fattore, per \(x\ne 2\), è non nullo e quindi semplificabile.

Infine, anche nell’ultimo caso siamo interessati a cercare un intorno di \(x=2\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=2\) stesso, si abbia:\[\left| \frac{{{x}^{2}}+4}{x}-4 \right|<\varepsilon \to \left| \frac{{{x}^{2}}-4x+4}{x} \right|<\varepsilon \to \]\[\frac{{{x}^{2}}-\left( 4+\varepsilon  \right)x+4}{x}<0\ \wedge \ \frac{{{x}^{2}}-\left( 4-\varepsilon  \right)x+4}{x}>0\to \]\[\frac{{{x}^{2}}-\left( 4+\varepsilon  \right)x+4}{x}<0\ \wedge \ \frac{{{x}^{2}}-\left( 4-\varepsilon  \right)x+4}{x}>0\to \]\[2+\frac{\varepsilon -\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}<x<2+\frac{\varepsilon +\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}\ \wedge \ x>0\to \]\[2-\frac{\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}-\varepsilon}{2}<x<2+\frac{\varepsilon +\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}\]che è l’intorno cercato; si noti che la seconda disequazione si è ridotta a \(x>0\) in quanto il numeratore è un trinomio con discriminante negativo, essendo \(4-\varepsilon <4\), e pertanto sempre positivo.

Massimo Bergamini

Ricevo da Fabio la seguente domanda:

Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=x^3\) nell’intervallo \([0;1]\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Fabio,

si tratta semplicemente di calcolare il seguente integrale definito:

\[\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{6}}dx}=\pi \left[ \frac{1}{7}{{x}^{7}} \right]_{0}^{1}=\frac{\pi }{7}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Angela la seguente domanda:

Caro professore,

le chiedo aiuto per l’impostazione dei seguenti problemi (nn. 200, 205, 206 pag.881, Matematica.blu2.0):

1) La bisettrice \(NP\) del triangolo \(LMN\) misura \(40\). Determina \(\overline{NM}\) e \(\overline{LP}\), noti \(L\hat{N}M=\arccos \frac{7}{25}\) e \(\hat{M}=30{}^\circ\).

2) Sia \(ABC\) un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggo \(r\). Considera una corda \(CD\) interna all’angolo \(A\hat{C}B\) e su \(CD\) un punto \(E\) tale che \(AD\cong DE\). Dopo aver dimostrato che il triangolo \(ADE\) è equilatero, esprimi in funzione di \(x=A\hat{C}D\) il perimetro del traingolo \(AEC\). Determina poi per quale valore di \(x\) il perimetro del triangolo misura \(\left( 2+\sqrt{3} \right)r\).

3) Sono dati i triangoli \(ABC\) e \(ABD\), appartenenti allo stesso semipiano rispetto al segmento \(AB\), tali che l’angolo \(A\hat{C}B\) è la metà dell’angolo \(A\hat{D}B\), \(\overline{CB}=2a\), \(\overline{AD}=a\), e \(C\hat{B}D=\frac{\pi }{6}\). Indica con \(P\) il punto di intersezione tra \(AC\) e \(BD\) e, posto \(A\hat{C}B=x\), determina la funzione: \[f\left( x \right)=\frac{\overline{PC}-\overline{PB}}{\overline{PD}}\quad .\]

Calcola poi in quali intervalli di \(\left[ 0,2\pi  \right]\) si ha \(f(x)\ge 0\).

Grazie!

Le rispondo così:

Cara Angela,

nel primo caso, detto \(2\alpha =L\hat{N}M\), si ha \[\cos \alpha =\sqrt{\frac{25+7}{50}}=\frac{4}{5}\quad \sin \alpha =\frac{3}{5}\] per cui, applicando il teorema dei seni ai triangoli \(NPM\) e \(NPL\): \[\frac{\overline{NP}}{\sin 30{}^\circ }=\frac{\overline{NM}}{\sin \left( 30{}^\circ +\alpha  \right)}\to \overline{NM}=80\left( \frac{2}{5}+\frac{3\sqrt{{3}}}{10} \right)=8\left( 4+3\sqrt{3} \right)\]\[\frac{\overline{LP}}{\sin \alpha }=\frac{\overline{NP}}{\sin \left( 30{}^\circ +2\alpha  \right)}\to \overline{LP}=40\frac{3}{5}\left( \frac{50}{7+24\sqrt{3}} \right)=\frac{1200}{7+24\sqrt{3}}\quad .\]

Nel secondo caso, il triangolo isoscele \(ADE\) è equilatero in quanto \(A\hat{D}C=60^\circ\), dal momento che la corda \(AC\) su cui insiste è la stessa su cui insiste l’angolo \(A\hat{B}C=60^\circ\). Applicando il teorema dei seni al triangolo \(AEC\) si ha:            \[\frac{\overline{EC}}{\sin \left( 60{}^\circ -x \right)}=\frac{\overline{AC}}{\sin 120{}^\circ }\to \overline{EC}=r\left( \sqrt{3}\cos x-\sin x \right)\]\[\frac{\overline{EA}}{\sin x}=\frac{\overline{AC}}{\sin 120{}^\circ }\to \overline{EA}=2r\sin x\]da cui             \[2{{p}_{AEC}}=r\left( \sqrt{3}\cos x+\sin x+\sqrt{3} \right)\]e in particolare: \[r\left( \sqrt{3}\cos x+\sin x+\sqrt{3} \right)=r\left( 2+\sqrt{3} \right)\leftrightarrow \sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)=1\leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}\quad .\]

Nell’ultimo caso, osservand0 i triangoli \(PBC\) e \(PDA\), e applicando il teorema dei seni, si ha:           \[\frac{\overline{PC}}{\sin \left( \pi /6 \right)}=\frac{\overline{CB}}{\sin \left( x+\pi /6 \right)}\to \overline{PC}=\frac{a}{\sin \left( x+\pi /6 \right)}\]\[\frac{\overline{PB}}{\sin x}=\frac{\overline{CB}}{\sin \left( x+\pi /6 \right)}\to \overline{PB}=\frac{2a\sin x}{\sin \left( x+\pi /6 \right)}\]\[\frac{\overline{PD}}{\sin \left( x-\pi /6 \right)}=\frac{\overline{AD}}{\sin \left( x+\pi /6 \right)}\to \overline{PD}=\frac{a\sin \left( x-\pi /6 \right)}{\sin \left( x+\pi /6 \right)}\] per cui\[f\left( x \right)=\frac{\overline{PC}-\overline{PB}}{\overline{PD}}=\frac{\left( 1-2\sin x \right)}{\sin \left( x-\pi /6 \right)}=\frac{2\left( 1-2\sin x \right)}{\cos x-\sqrt{3}\sin x}\] e tale funzione è positiva per \[0\le x<\frac{\pi }{6}\vee \frac{\pi }{6}<x\le \frac{5}{6}\pi \vee \frac{7}{6}\pi <x\le 2\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Angela la seguente domanda:

Gentile professore,

ho di nuovo bisogno del suo aiuto, non riesco a risolvere i seguenti problemi (nn 396, 400, 402 pag 904 Matematica blu2.0):

1) Un’altalena a bilancia misura \(3\;m\) e il suo fulcro si trova a \(30\;cm\) da terra. Qual è la massima altezza raggiungibile da ciascun sedile? (I sedili si trovano alle due estremità).

2) Tre forze \({{\vec{F}}_{1}}\), \({{\vec{F}}_{2}}\), \({{\vec{F}}_{3}}\), i cui moduli sono \(8\;N\), \(4\;N\) e \(10\;N\), sono applicate su una stessa massa puntiforme. Determina gli angoli che \({{\vec{F}}_{1}}\) e \({{\vec{F}}_{2}}\) formano \({{\vec{F}}_{3}}\), sapendo che le tre forze si equilibrano.

3) Un pendolo è formato da una sferetta di piccole dimensioni appesa a un filo lungo \(80\;cm\). Nella posizione di riposo l’altezza della sfera dal suolo è \(60\;cm\); durante l’oscillazione essa raggiunge l’altezza massima dal suolo di \(75\;cm\). Qual è l’ampiezza di oscillazione?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Angela,

nel primo caso, osservando la figura, deduciamo rapidamente che \(\sin \alpha =\frac{0,3}{1,5}=\frac{1}{5}\), per cui \(BH=3\sin \alpha =60\ cm\).

Nel secondo caso, scelto un riferimento \(Oxy\) tale che \({{\vec{F}}_{3}}=10{{\vec{u}}_{x}}\), poniamo \({{\vec{F}}_{1}}=8\left( \cos \alpha {{{\vec{u}}}_{x}}+\sin \alpha {{{\vec{u}}}_{y}} \right)\) e \({{\vec{F}}_{2}}=4\left( \cos \beta {{{\vec{u}}}_{x}}-\sin \beta {{{\vec{u}}}_{y}} \right)\), dove \(\alpha\) e \(\beta\) sono gli angoli che \({{\vec{F}}_{1}}\) e \({{\vec{F}}_{2}}\) formano con \({{\vec{F}}_{3}}\) (il segno della seconda componente di \({{\vec{F}}_{2}}\) si giustifica con il fatto che l’angolo che tale vettore forma con l’asse delle \(x\) è \(2\pi -\beta\)). Si deve avere:        \[8\cos \alpha +4\cos \beta =-10\quad \wedge \quad 8\sin \alpha -4\sin \beta =0\to \]\[\to \cos \beta =-\frac{5}{2}-2\cos \alpha \quad \wedge \quad {{\cos }^{2}}\beta =4{{\cos }^{2}}\alpha -3\to \]\[\to \cos \alpha =-\frac{37}{40}\quad \wedge \quad \cos \beta =-\frac{13}{20}\to\]

\[\to\alpha \approx 157{}^\circ 40'06'',\;\beta \approx 130{}^\circ 32'30''\quad .\]

Infine, nel terzo caso, si tratta di porre \(80-80\cos \alpha =15\), da cui:         \[\cos \alpha =\frac{3}{16}\to \alpha \approx 35{}^\circ 39'33''\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Salve professore,

vorrei chiederle un consiglio per risolvere il seguente problema:

trova i valori del parametro \(a\) affinchè la funzione \(y=4x^3+5ax^2+\frac{3}{4}x+a^2\) non abbia nè massimi nè minimi.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Antonio,

poiché la funzione, per ogni valore di \(a\), è definita e derivabile su un insieme compatto, cioè tutto \(\mathbb{R}\), possiamo dire che non presenta né massimi né minimi relativi se e solo se è monotona, crescente o decrescente, su tutto il suo dominio, cioè se e solo se la sua derivata è sempre non negativa o sempre non positiva. Poiché la derivata è data dall’espressione di \(2^\circ\) grado \(y’=12x^2+10ax+\frac{3}{4}\), la condizione equivale alla richiesta che il discriminante di tale trinomio sia minore o uguale a \(0\), cioè:\[25{{a}^{2}}-9\le 0\to -\frac{3}{5}\le a\le \frac{3}{5}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Mario la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

Le chiedo aiuto nella risoluzione del seguente problema:

In una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) determinare un punto \(D\) in modo che, detto \(E\) il punto di intersezione tra la bisettrice dell’angolo \(D\hat{A}B\)  con il segmento \(DB\) risulti: \[\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}=k\quad k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Mario,

posto \(2x=B\hat{A}D\), con \(0\le x\le \pi /4\), si ha \(BD=2r\sin 2x\), e per il teorema dei seni applicato al triangolo \(BAE\) si ha:\[\frac{\overline{BE}}{\sin x}=\frac{2r}{\sin \left( \frac{\pi }{2}-x \right)}\to \overline{BE}=2r\tan x\quad .\]

Ricordando il teorema della bisettrice, si ha: \(DE/AD=BE/AB\), per cui: \[\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}=k\to \tan x+\frac{\tan x}{\sin 2x}=k\to \]\[\to \sin 2x+1=k+k\cos 2x\quad .\] Posto \(X=\cos 2x\), \(Y=\sin 2x\) si ha il sistema:\[\left\{ \begin{array}{lll} Y=kX+k-1 \\ X^2+Y^2=1 \\ 0\le X,Y\le 1 \end{array} \right.\]e si osserva che il fascio proprio di rette \(Y=kX+k-1\), con centro \((-1,-1)\) e rotazione antioraria, interseca una e una sola volta l’arco di circonferenza goniometrica di estremi \((1,0)\) e \((0,1)\) per i valori di \(k\) tali che \[\frac{1}{2}\le k\le 2\] e quindi per tali valori del parametro \(k\) il problema ammette una e una sola soluzione.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

come si imposta questo esercizio?

Date le funzioni \[f_1(x)=\left\{ \begin{array}{ll} e^x\quad\quad -1\le x\le 0 \\ \frac{\ln \left( 1+x \right)}{x}\quad 0<x\le 1 \end{array} \right.\]

\[f_2(x)=\left\{ \begin{array}{ll} e^x\quad\quad -1\le x < 0 \\ \ln \left( 1+x \right) \quad 0\le x\le 1 \end{array} \right.\] disegnane i grafici, controlla le ipotesi del teorema di Weierstrass e, se esistono, determina il massimo \(M\) e il minimo \(m\) di ciascuna funzione.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel caso di \(f_1\), poiché:

\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)=1={{f}_{1}}\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)\]la funzione, in quanto definita e continua in ogni punto dell’intervallo chiuso \(\left[ -1,1 \right]\), soddisfa le condizioni del teorema di Weierstrass, e ammette il minimo assoluto \(m_1={{e}^{-1}}\) e il massimo assoluto \(M_1=1\).

Nel caso di \(f_2\), invece, poiché: \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( x \right)=1\ne {{f}_{2}}\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( x \right)=0\] la funzione presenta un punto di discontinuità in \(x=0\), e quindi  non soddisfa le condizioni del teorema di Weierstrass, cioè non presenta necessariamente un minimo e un massimo assoluti nell’intervallo \(\left[ -1,1 \right]\); esiste comunque un minimo assoluto \(m_2=0\), mentre non esiste un massimo assoluto, poiché \(1\) rappresenta l’estremo superiore del codominio di \(f_2\), che è l’intervallo \(\left[ 0,1 \right[\), ma non ne rappresenta il massimo, poiché non vi appartiene.

Massimo Bergamini

Ricevo da Angela la seguente domanda:

Caro professore,

le chiedo aiuto per le seguenti equazioni differenziali:

                                 \[y''-4y={{e}^{2x}}\sin x\quad \quad y''+y=4\left( x+1 \right)\cos x\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Angela,

nel primo caso, fatto salvo che l’integrale generale dell’omogenea associata è \({{y}_{0}}\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-2x}}\), si tratta di cercare un integrale particolare \(\bar{y}\left( x \right)\): per analogia, si può cercare una funzione del tipo \(\bar{y}\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( A\sin x+B\cos x \right)\), per cui:

\[\bar{y}''\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( \left( 3A-4B \right)\sin x+\left( 4A+3B \right)\cos x \right)\to\]\[\to \bar{y}''-4\bar{y}=\left( -\left( A+4B \right)\sin x+\left( 4A-B \right)\cos x \right)\to\]\[\to \bar{y}''-4\bar{y}={{e}^{2x}}\sin x\leftrightarrow -A-4B=1\ \wedge \ 4A-B=0\to\]\[\to A=-\frac{1}{17}\ \wedge \ B=-\frac{4}{17}\] quindi l’integrale completo dell’equazione è il seguente: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-2x}}-\frac{{{e}^{2x}}}{17}\left( \sin x+4\cos x \right)\quad {{c}_{1}},{{c}_{2}}\in \mathbb{R}\quad .\]

Nel secondo caso, all’integrale generale dell’omogenea \({{y}_{0}}\left( x \right)={{c}_{1}}\sin x+{{c}_{2}}\cos x\) va aggiunto un integrale particolare \(\bar{y}\left( x \right)\) che possiamo ricercare tra funzioni di questo tipo: \[\bar{y}\left( x \right)={{x}^{2}}\left( A\sin x+B\cos x \right)+x\left( C\sin x+D\cos x \right)\] per cui: \[\bar{y}''\left( x \right)=-{{x}^{2}}\left( A\sin x+B\cos x \right)+x\left( -\left( 4B+C \right)\sin x+\left( 4A-D \right)\cos x \right)+2\left( A-D \right)\sin x+2\left( B+C \right)\cos x\] e pertanto:\[\bar{y}''+\bar{y}=4x\left( -B\sin x+A\cos x \right)+2\left( A-D \right)\sin x+2\left( B+C \right)\cos x\to \]\[\to \bar{y}''+\bar{y}=4\left( x+1 \right)\cos x\leftrightarrow A=1\ \wedge \ B=0\ \wedge A-D=0\ B+C=2\to \]\[\to A=1\ \wedge \ B=0\ \wedge D=1\ C=2\] quindi l’integrale completo dell’equazione è il seguente: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}\sin x+{{c}_{2}}\cos x+{{x}^{2}}\sin x+x\left( 2\sin x+\cos x \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elena la seguente domanda:

Salve, ho osservato che il seguente integrale (n.533, p.1991, Matematica.blu 2.0) \[\int{\frac{dx}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}}\]

è facilmente risolvibile sostituendo \(t=x-2\), da cui si ottiene \(\arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right)+c\). Tuttavia inizialmente ho sostituito \(t=\sqrt{x}\) e mi risulta \(2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)+c\). È equivalente? Se no, come mai non torna?

Inoltre avrei un’altra domanda.

Sappiamo che: \[\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=\ln \left| a\left( x \right) \right|+c\] ma se provo a calcolarlo come integrale per parti, ponendo \(f(x)=1/a(x)\) e \(g’(x)=a’(x)\), perchè non torna? Il fatto è che l’integrale che voglio calcolare lo ritrovo nell’integrale del calcolo e quindi l’equazione finale risulta \(0=1\), impossibile.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elena,

nel primo caso la risposta è questa: i due procedimenti sono effettivamente equivalenti, e per quanto apparentemente così diverse, le funzioni che si ottengono differiscono solo per una costante additiva, e quindi gli integrali indefiniti sono gli stessi (ti ricordo che l’integrale indefinito non è una funzione ma un insieme di funzioni, cioè tutte e sole le primitive della funzione integranda…). In effetti, derivando la funzione che hai ottenuto, si ha:\[2\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{4}}}\cdot \frac{1}{4\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{4-x}}=\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}\]e inoltre si può verificare che, per ogni \(0\le x\le 4\), si ha: \[\arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right)=2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)-\frac{\pi }{2}\] infatti: \[\frac{x-2}{2}=\sin \left( \arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right) \right)=\sin \left( 2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)-\frac{\pi }{2} \right)=\]\[=-\cos \left( 2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \right)=2{{\sin }^{2}}\left( \arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \right)-1=\]\[=2{{\left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)}^{2}}-1=\frac{x-2}{2}\quad .\]

La seconda questione riguarda ancora il fatto che il simbolo di integrale indefinito indica un insieme di infinite funzioni, distinte l’una dall’altra per un’arbitraria costante additiva, per cui la scrittura  \[\int{f\left( x \right)\,}dx=\int{f\left( x \right)\,}dx+c\] rappresenta, per qualunque valore di \(c\), una identità, non una contraddizione! Ed è proprio a questa inutile identità che si perviene operando secondo il tuo suggerimento:

 \[\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=\int{\frac{1}{a\left( x \right)}\cdot a'\left( x \right)\,}dx=\frac{1}{a\left( x \right)}\cdot a\left( x \right)+\int{\frac{a'\left( x \right)}{{{a}^{2}}\left( x \right)}\cdot a\left( x \right)\,}dx\to \]\[\to \int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=1+\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx\quad !!\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Rossella la seguente domanda:

Buongiorno Professore:

1) Dato il segmento \(AB=2L\), condurre per il punto medio \(M\) una semiretta \(r\) che formi con la semiretta \(MB\) un angolo uguale a \(\frac{\pi }{4}\). Su \(r\) considerare un punto \(P\) e porre l’angolo \(P\hat{B}M=\frac{x}{2}\); studiare e tracciare il grafico della funzione: \(f(x)=\frac{A{{P}^{2}}}{B{{P}^{2}}}\).

a) Determinare il massimo della funzione e per quale valore di \(x\) si ottiene.

b) Tracciare il grafico della funzione \(g(x)=3+2\sqrt{2}\sin \left| x-\frac{\pi }{4}\right|\).

2) Sia \(M\) il punto medio del segmento \(AB=2a\). In uno dei due semipiani limitati dalla retta \(AB\) si fissi un punto \(P\) tale che: \(\cos \left( A\hat{P}M \right)=\frac{3}{5}\). Posto l’angolo \(P\hat{A}M=x\), tracciare il grafico della funzione: \(f(x)=5AP+PM\), indicando l’arco che si riferisce al problema. Determinare il massimo della funzione \(f(x)\) e il valore di \(x\) per il quale si ottiene.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Rossella,

nel primo caso, dal teorema dei seni applicato al triangolo \(MPB\), si ha:\[PM=\frac{L\sin \frac{x}{2}}{\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)}\quad PB=\frac{\sqrt{2}L}{2\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)}\]e dal teorema dei coseni applicato al triangolo \(AMP\):\[A{{P}^{2}}={{L}^{2}}+P{{M}^{2}}+\sqrt{2}LPM\]per cui   \[f\left( x \right)=\frac{A{{P}^{2}}}{P{{B}^{2}}}=2{{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)+2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+2\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)=\]\[=1+\sin x+1-\cos x+1-\cos x+\sin x=3+2\sin x-2\cos x=\]\[=3+2\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\quad .\] La funzione \(f\left( x \right)=3+2\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\), per \(0\le x<\frac{3}{2}\pi\), ha il suo massimo per \(\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\), cioè per \(x=\frac{3}{2}\pi\), e tale massimo vale \(3+2\sqrt{2}\). La funzione \(g(x)\) coincide con \(f(x)\) per \(x\ge \pi/4\), mentre per \(x<\pi/4\) coincide con la simmetrica di \(fx)\) rispetto all’asse \(x=\pi/4\).

Nel secondo caso, osserviamo innanzitutto che \(\sin \left( A\hat{P}M \right)=\frac{4}{5}\), e che il luogo dei possibili punti \(P\) è un arco si circonferenza di cui \(AM=a\) è una corda che sottende un angolo costante \(\alpha\) il cui coseno è appunto \(3/5\) e il cui seno è \(4/5\). Posto quindi che \(P\hat{A}M=x\) è tale che \(0\le x\le \alpha =\arccos \frac{3}{5}\), applicando il teorema dei seni al triangolo \(AMP\) si ha:

\[AP=\frac{5}{4}a\sin \left( \alpha +x \right)=5a\cos x+\frac{15}{4}a\sin x\]

\[PM=\frac{5}{4}a\sin x\to 5AP+PM=\]\[=5a\cos x+5a\sin x\]per cui: \[f\left( x \right)=5\sqrt{2}a\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\quad \quad 0\le x\le \alpha =\arccos \frac{3}{5}\] funzione che presenta un massimo per \(x=\frac{\pi }{4}\), dove il suo valore è \(5\sqrt{2}a\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Matteo la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

un cono retto ha il raggio di base di lunghezza \(6L\) e l’altezza di lunghezza \(8L\); trova:

a) l’area della superficie della sfera in esso inscritta;

b) il raggio del cerchio individuato dai punti di tangenza della sfera con la superficie laterale del cono;

c) la superficie laterale del tronco di cono che ha per basi la base del cono e il cerchio individuato al punto precedente.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Matteo,

con riferimento alla figura, si coglie subito che, essendo \(VB=10L\) e \(HB\cong OB\), ed essendo tra loro simili i triangoli rettangoli \(VOB\) e \(VCH\), il raggio della sfera inscritta, cioè \(OC=CH\), misura \(3L\), per cui l’area della superficie di tale sfera è \(36\pi L^2\). D’altra parte, anche il triangolo \(VHO_1\) è simile a \(VOB\), per cui, essendo \(VH=4L\), si ha \(O_1H=\frac{12}{5}L\), che è il raggio del cerchio di cui al punto b). La superficie laterale del tronco di cono delimitato da tale cerchio e dalla base del cono è quindi:\[{{S}_{T}}=60{{L}^{2}}\pi -\frac{48}{5}{{L}^{2}}\pi =\frac{252}{5}{{L}^{2}}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Nicole la seguente domanda:

Buongiorno Professore:

dovendo collocare \(5\) oggetti diversi, in scatole distinguibili, calcola il numero delle possibilità nel caso di:

a) metterne \(3\) in una scatola e \(2\) in un’altra;

b) metterli in \(3\) scatole senza lasciarne alcuna vuota;

c) metterli in \(3\) scatole non importando che una o due restino vuote.

Ripeti l’esercizio precedente nell’ipotesi in cui i \(5\) oggetti non siano distinguibili.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Nicole,

nel caso a), dette \(A\) e \(B\) le due scatole distinte, si tratta di contare in quanti modi possiamo scegliere \(3\) oggetti da \(5\) distinti (indipendentemente dall’ordine, quindi parliamo di combinazioni), e moltiplicare questo numero per \(2\), poiché gli oggetti li possiamo mettere o in \(A\) o in \(B\): ognuna di queste scelte determina in modo unico il modo di riempire l’altra scatola, per cui il numero ottenuto esaurisce le possibilità: \[2\cdot {{C}_{5,3}}=2\cdot \frac{5!}{3!2!}=20\quad .\]

Nel caso b), osserviamo che si possono avere solo due tipi di distribuzione tra le scatole \(A\), \(B\) e \(C\): o una di esse contiene \(3\) oggetti e le altre due ne contengono \(1\) (cioè: \(5=3+1+1\)), oppure una di esse ne contiene uno solo e le altre due ne contengono \(2\) ciascuna (cioè: \(5=2+2+1\). I modi in cui possiamo realizzare una distribuzione di tipo \(3+1+1\) sono dati dai modi in cui possiamo scegliere \(3\) oggetti da \(5\) (\({{C}_{5,3}}=10\)), moltiplicato per \(3\) (le scelte possibili della scatola in cui collocare i \(3\) oggetti) e ancora moltiplicato per \(2\) (i modi in cui possiamo distribuire i \(2\) oggetti rimasti nelle \(2\) scatole rimaste):\[2\cdot 3\cdot {{C}_{5,3}}=60\quad .\] I modi in cui possiamo realizzare una distribuzione di tipo \(2+2+1\) sono dati dai modi in cui possiamo scegliere un oggetto tra \(5\) (\({{C}_{5,1}}=5\)), moltiplicato per \(3\) (le scelte possibili della scatola in cui collocare tale oggetto) e ancora moltiplicato per \(6\) (i modi in cui possiamo distribuire i \(4\) oggetti rimasti nelle \(2\) scatole rimaste, cioè i modi in cui possiamo scegliere i \(2\) oggetti, dai \(4\) rimasti (\({{C}_{4,2}}=6\)), da collocare in una delle due scatole: tale scelta vincola anche il riempimento dell’altra): \[5\cdot 3\cdot 6=90\quad .\]In totale, quindi, i modi richiesti dal caso b) sono:\[60+90=150\quad .\] La possibilità di lasciare vuota una o due scatole, aggiunge altri tre tipi di distribuzione possibili, \(5+0+0\), \(4+1+0\) e \(3+2+0\), ai due già considerati; il primo (\(5+0+0\)) si può realizzare solo in \(3\) modi (le scelte della scatola in cui collocare tutti gli oggetti), il secondo (\(4+1+0\)) in \(5\cdot 3\cdot 2=30\) modi (\(5={{C}_{5,4}}\) modi di scegliere \(4\) oggetti da \(5\), per le \(3\) possibili scelte della scatola in cui collocarli, per i \(2\) modi in cui collocare l’oggetto rimasto nelle \(2\) scatole rimaste), il terzo (\(3+2+0\)) in \(10\cdot 3\cdot 2=60\) (\(10={{C}_{5,3}}\) modi di scegliere \(3\) oggetti da \(5\), per le \(3\) possibili scelte della scatola in cui collocarli, per i \(2\) modi in cui collocare i due oggetti rimasti in una delle \(2\) scatole rimaste), per cui, in totale:

\[3+30+60+150=243\quad .\]

Se ora si rimuove l’ipotesi di distinguibilità per gli oggetti (ma non per le scatole), il conteggio si può ricondurre a un problema di “anagrammi”, cioè di permutazioni con eventuali ripetizioni: si tratta infatti di permutare su due (caso a)) o tre (casi b) e c)) “posti” (le scatole \(A\), \(B\) e \(C\), diciamo), i numeri a somma \(5\) che rappresentano il numero di oggetti da collocare in ciascuna scatola, indipendentemente dall’individualità dei singoli oggetti, che non è più riconoscibile. Nel caso a), si devono contare i possibili “anagrammi” di una “parola” di due lettere (il numero di scatole distinte) che si possono formare con i simboli “\(3\)” e “\(2\)”, e questi sono ovviamente solo \(2\): \(3\;2\) e \(2\;3\). Nel caso b), le “parole” hanno \(3\) “lettere”, e sono gli anagrammi delle parole “\(3\;1\;1\)” e “\(2\;2\;1\)”, e sono in totale (permutazioni con ripetizione):\[\frac{3!}{2!}+\frac{3!}{2!}=6\quad .\]Infine, nel caso c), si aggiungono a questi \(6\) gli anagrammi delle “parole” “\(5\;0\;0\)”, “\(4\;1\;0\)” e “\(3\;2\;0\)”, cioè \[6+\frac{3!}{2!}+3!+3!=21\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Giorgio la seguente domanda:

Buongiorno,

il professore ci ha chiesto, dopo aver spiegato le posizioni reciproche tra retta e circonferenza, se é possibile trovare l’equazione della tangente a una circonferenza o in generale a una curva date l’equazione della suddetta e le coordinate di un punto esterno ad essa con il calcolo delle derivate. La domanda è rimasta senza risposta e curioso ci ho ragionato un pò. La derivata della circonferenza nel punto di tangenza (quindi appartenente alla curva) è il coefficiente angolare della retta tangente. E dunque non è difficile trovare l’equazione richiesta se si ha il punto sulla circonferenza. Ma se si ha solo il punto esterno e non si possiedono le coordinate del punto di tangenza è ugualmente possibile usare le derivate per risolvere il problema?

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giorgio,

la risposta è in generale sì, almeno se la curva in questione è il grafico di una funzione derivabile, a prescindere dal fatto che l’equazione che si ottiene sia più o meno “facile” da risolvere. Si tratta di invertire, in qualche modo , il punto di vista: data la funzione \(f(x)\), invece di partire da un punto del suo grafico assunto come punto di tangenza e ricavare poi il valore che la funzione derivata assume in corrispondenza all’ascissa di tale punto, si tratta invece di partire dall’equazione generale della retta tangente in un generico punto della curva, imponendo a tale retta di passare per il punto esterno alla curva assegnato. In pratica, detto \(P(x_P,y_P)\) tale punto non appartenente al grafico di \(f(x)\), si considera un generico punto \((t,f(t))\) appartenente a tale grafico, e si scrive l’equazione della retta tangente al grafico in tale punto, cioè: \[{{y}_{t}}=f'\left( t \right)\left( x-t \right)+f\left( t \right)\]che risulta essere una famiglia ad un parametro di rette (al variare di \(t\), si deve immaginare che tale retta “scorra” sul grafico di \(f(x)\) mantenendosi tangente ad esso). Quindi, si impone al punto \(P(x_P,y_P)\) di appartenere a tale retta, ottenendo così un’equazione per il parametro \(t\) le cui eventuali soluzioni forniscono le eventuali rette tangenti al grafico di \(f(x)\) passanti per \(P\) e i relativi punti di tangenza:\[{{y}_{P}}=f'\left( t \right)\left( {{x}_{P}}-t \right)+f\left( t \right)\quad .\] Ad esempio, le tangenti alla parabola \(f(x)=x^2-4x\) passanti per \(P(3,-4)\) si possono determinare con la tecnica suddetta:\[{{y}_{t}}=\left( 2t-4 \right)\left( x-t \right)+{{t}^{2}}-4t\]è la generica retta tangente alla parabola nel suo generico punto \((t,t^2-4t)\), per cui deve essere\[-4=\left( 2t-4 \right)\left( 3-t \right)+{{t}^{2}}-4t\to {{t}^{2}}-6t+8=0\to \]\[\to {{t}_{1}}=2\quad \vee \quad {{t}_{2}}=4\to y=-4\quad \vee \quad y=4x-16\quad .\]Chiaramente, nel caso di una circonferenza o di altre curve chiuse che non sono il grafico di una funzione, si tratterà di suddividere la curva in archi che possano essere pensati come grafici di funzioni derivabili.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuti a capire questo quesito

trovare l’equazione dell’iperbole corrispondente dell’iperbole di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\)

a) nella traslazione \(\tau\) di vettore \(\vec{v}\left( -1,1 \right)\);

b) nella simmetria \(\sigma\) di centro \((-1,1)\);

c) nella trasformazione composta \(\tau \circ \sigma\);

d) nella trasformazione composta \(\sigma \circ \tau\);

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

scriviamo le equazioni delle quattro trasformazioni coinvolte:\[\tau=\left\{ \begin{array}{ll} x’=x-1 \\ y’=y+1 \end{array} \right. \quad\quad \sigma=\left\{ \begin{array}{ll} x’=-2-x \\ y’=2-y \end{array} \right. \]\[\tau \circ \sigma =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-3-x \\ y’=3-y \end{array} \right. \quad\quad \sigma \circ \tau =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-1-x \\ y’=1-y \end{array} \right. \]e le rispettive inverse:\[\tau^{-1}=\left\{ \begin{array}{ll} x’=x+1 \\ y’=y-1 \end{array} \right. \quad\quad \sigma^{-1}=\left\{ \begin{array}{ll} x’=-2-x \\ y’=2-y \end{array} \right. \]\[(\tau \circ \sigma)^{-1} =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-3-x \\ y’=3-y \end{array} \right. \quad\quad (\sigma \circ \tau)^{-1} =\left\{ \begin{array}{ll} x’=-1-x \\ y’=1-y \end{array} \right. \]Si noti che le ultime tre trasformazioni, in quanto simmetrie centrali, sono involutorie, cioè coincidono con le proprie inverse. Detta \(\gamma\) l’iperbole di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\), per ricavare l’equazione dell’iperbole trasformata di \(\gamma\) in ciascuno dei quattro casi sostituiamo a \(x\) e \(y\) nell’equazione le espressioni di \(x’\) e \(y’\) delle corrispondenti trasformazioni inverse: \[\tau \left( \gamma  \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}-4{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+2x+8y-7=0\]\[\sigma \left( \gamma  \right):{{\left( -2-x \right)}^{2}}-4{{\left( 2-y \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+4x+16y-16=0\]\[\left( \tau \circ \sigma  \right)\left( \gamma  \right):{{\left( -3-x \right)}^{2}}-4{{\left( 3-y \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+6x+24y-31=0\]\[\left( \sigma \circ \tau  \right)\left( \gamma  \right):{{\left( -1-x \right)}^{2}}-4{{\left( 1-y \right)}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+2x+8y-7=0\]Si noti che \(\tau \left( \gamma  \right)=\left( \sigma \circ \tau  \right)\left( \gamma  \right)\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Caro professore,

alcuni quesiti presi dal suo testo che non mi sono chiari:

1) Date le cifre \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\) determinare quanti numeri maggiori di \(40\) e minori di \(10000\) si possono formare.

2) Quanti sono i numeri che iniziano con \(5\) costituiti da due, tre e quattro cifre?

3) Un’urna contiene \(4\) palline nere, \(2\) bianche e \(5\) verdi. Quanti sono i gruppi che si possono formare con \(2\) palline nere, \(1\) bianca e \(3\) verdi?

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

nel primo caso si tratta di sommare diverse disposizioni con ripetizione: i possibili numeri di due cifre, maggiori di \(40\), per i quali la prima cifra può essere scelta fra \(2\) (il \(4\) e il \(5\)), la seconda fra \(4\), sono in totale \(2\cdot 4 =8\); i possibili numeri di tre cifre, per i quali le tre cifre possono essere scelte fra \(4\), sono in totale \(4^3 = 64\);  i possibili numeri di quattro cifre, per i quali le quattro cifre possono essere scelte fra \(4\), sono in totale \(4^4 = 256\). Non sono possibili numeri di cinque cifre minori di \(10000\) con le cifre a disposizione, per cui la risposta è: \(8+64+256=328\).

Nel secondo caso, ancora si devono sommare le seguenti disposizioni con ripetizione: numeri di due cifre che iniziano per \(5\), cioè \(10\), numeri di tre cifre che iniziano per \(5\), cioè \(100\), numeri di quattro cifre che iniziano per \(5\), cioè \(1000\), totale: \(10+100+1000=1110\).

Infine, i possibili gruppi di \(2\) palline nere, \(1\) bianca e \(3\) verdi si ricavano per moltiplicazione di tre combinazioni semplici, cioè il numero di possibili coppie di palline nere che si possono formare da \(4\), indipendentemente dall’ordine (\({{C}_{4,2}}=4!/(2!\cdot 2!)=6\)), per il numero di possibili scelte di una pallina bianca da \(2\) (ovviamente \(2\)), per il numero di possibili terne di palline verdi che si possono formare da \(5\) indipendentemente dall’ordine (\({{C}_{5,3}}=5!/(2!\cdot 3!)=10\)), per cui, in totale: \(6\cdot 2\cdot 10=120\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

mi aiuta per favore a risolvere questo integrale?

                               \[\int\limits_{2}^{3}{\frac{1}{\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 3-x \right)}}\,}dx\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Paola,

possiamo calcolare l’integrale improprio come limite di una funzione integrale in questo modo:

\[\int\limits_{2}^{3}{\frac{1}{\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 3-x \right)}}\,}dx=\underset{a\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{b\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 3-x \right)}}\,}dx \right)\]

e poichè\[\frac{1}{\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 3-x \right)}}=\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+5x-6}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-\left( {{x}^{2}}-5x+\frac{25}{4} \right)}}=\]\[=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{1-{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}}}\]

si ha \[\int\limits_{2}^{3}{\frac{1}{\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 3-x \right)}}\,}dx=\underset{a\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{b\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{\frac{2}{\sqrt{1-{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}}}\,}dx \right)=\]\[=\underset{a\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{b\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \arcsin \left( 2x-5 \right) \right]_{a}^{b} \right)=\underset{a\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{b\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \arcsin \left( 2b-5 \right)-\arcsin \left( 2a-5 \right) \right] \right)=\]\[=\underset{a\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\pi }{2}-\arcsin \left( 2a-5 \right) \right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Riccardo la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

non riesco a risolvere questo esercizio (n.82, pag. \(\alpha\) 87, Matematica.blu 2.0):

Calcola la probabilità che, lanciando quattro monete, la faccia testa esca due volte, sapendo che è uscita almeno una volta.

Grazie

Gli rispondo così:

Caro Riccardo,

si tratta di calcolare la seguente probabilità condizionata:\[p\left( {{E}_{1}}|{{E}_{2}} \right)=\frac{p\left( {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}} \right)}{p\left( {{E}_{2}} \right)}\]essendo \(E_1\) = “testa esce \(2\) volte su \(4\) lanci”, \(E_2\) = “testa esce almeno una volta su \(4\) lanci”. Per il calcolo di \(p\left( {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}} \right)\) e di \(p\left( {{E}_{2}} \right)\) ricorriamo alla formula di Bernoulli per le prove ripetute, dove \(n\) è il numero di prove, \(k\) il numero di successi, \(p\) la probabilità di successo in ogni prova:\[{{p}_{n,k}}={{C}_{n,k}}{{p}^{k}}{{\left( 1-p \right)}^{n-k}}\]che, nel nostro caso, presenta \(n=4\), \(p=1-p=1/2\). Pertanto, essendo \({{E}_{1}}\subset {{E}_{2}}\Rightarrow {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}}={{E}_{1}}\):\[p\left( {{E}_{1}}\cap {{E}_{2}} \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{4!}{2!2!}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{3}{8}\]\[p\left( {{E}_{2}} \right)=1-p\left( \overline{{{E}_{2}}} \right)=1-\frac{4!}{0!4!}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{0}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{15}{16}\]

da cui:\[p\left( {{E}_{1}}|{{E}_{2}} \right)=\frac{3}{8}\cdot \frac{16}{15}=\frac{2}{5}\quad .\]

Massimo Bergamini