Ricevo da Domenica la seguente domanda:

Gentile professore

ho questa dimostrazione:

Considerata vera la seguente relazione: \(2ab\le a^2+b^2\) per ogni \(a,b\) appartenenti ad \(\mathbb{R}\), dimostrare che per ogni \(x,y\) appartenenti ad \(\mathbb{R}\),  ed \(\alpha>0\), con \(\alpha\) numero reale, si ha: \[2xy\le \alpha {{x}^{2}}+\frac{1}{\alpha }{{y}^{2}}\quad .\]

La ringrazio.

Le rispondo così:

Cara Domenica,

poiché \(\alpha>0\), possiamo moltiplicare ambo i membri della diseguaglianza da dimostrare e ricavare che \[2xy\le \alpha {{x}^{2}}+\frac{1}{\alpha }{{y}^{2}}\leftrightarrow 2\alpha xy\le {{\alpha }^{2}}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leftrightarrow {{\alpha }^{2}}{{x}^{2}}-2\alpha xy+{{y}^{2}}\ge 0\] ma poiché \[{{\alpha }^{2}}{{x}^{2}}-2\alpha xy+{{y}^{2}}={{\left( \alpha x-y \right)}^{2}}\ge 0\quad \forall x,y\in \mathbb{R}\] la tesi è dimostrata.

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

ho difficoltà con alcuni problemi, potrebbe darmi un aiutino? (pag. 1536, nn. 548, 549, 550, 557, pag. 1537, n. 567 Matematica.blu 2.0).

1) Quali valori devono a i parametri \(a\) e \(b\) affinché sia \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x+a}{\left( a+b \right)x+b{{x}^{2}}}=-2\)?

2) Determina \(a\) e \(b\) tali che la funzione \(f\left( x \right)={{2}^{\frac{ax}{x+2b}}}\) abbia \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1}{2}\) e \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\).

3) Trova per quale valore di \(k\) si ha \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+kx \right)}{8x}=+3\).

4) Verifica che la funzione \(f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-x}}+2{{e}^{x}}}{{{e}^{-x}}+3{{e}^{x}}}\) ha come asintoto orizzontale la retta \(y=\frac{2}{3}\). Esistono altri asintoti per \(f(x)\)?

5) Considera la semicirconferenza di centro \(O\) e diametro \(\overline{AB}=2r\), traccia la semiretta \(t\) tangente in \(A\) e la semiretta \(s\) di origine \(O\) che interseca la semicirconferenza in \(P\) e la semiretta \(t\) in \(Q\). Calcola \(\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PQ}+\overline{AQ}}{\overline{PA}}\).

Grazie mille

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso si può avere un limite finito solo se numeratore e denominatore hanno pari grado, perciò \(b=0\), e quindi: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x+a}{ax}=\frac{4}{a}=-2\leftrightarrow a=-2\quad .\]

Nel secondo caso, si ha: \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{2}^{\frac{ax}{x+2b}}}={{2}^{a}}=\frac{1}{2}\leftrightarrow a=-1\quad \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{2}^{-\frac{x}{x+2b}}}={{2}^{-\frac{1}{1+2b}}}=0\leftrightarrow \frac{-1}{1+2b}=-\infty \to 1+2b={{0}^{+}}\to b=-\frac{1}{2}\quad .\]

Nel terzo caso, si ha: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+kx \right)}{8x}=\frac{k}{8}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+kx \right)}{kx}=\frac{k}{8}=3\leftrightarrow k=24\quad .\]

Nel quarto caso, si ha: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-x}}+2{{e}^{x}}}{{{e}^{-x}}+3{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( 1+{{e}^{-2x}} \right)}{3\left( 1+{{e}^{-2x}} \right)}=\frac{2}{3}\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-x}}+2{{e}^{x}}}{{{e}^{-x}}+3{{e}^{x}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+2{{e}^{2x}}}{1+3{{e}^{2x}}}=1\] per cui si verifica che la funzione ammette due asintoti orizzontali distinti: \(y=\frac{2}{3}\) e \(y=1\).

Nell’ultimo caso, posto \(x=A\hat{O}P\), con \(0\le x <\pi/2\), si ha: \[\overline{PA}=2r\sin \frac{x}{2},\overline{PQ}=\frac{r}{\cos x}-r=r\frac{1-\cos x}{\cos x},\overline{AQ}=r\tan x=r\frac{\sin x}{\cos x}\] per cui: \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PQ}+\overline{AQ}}{\overline{PA}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x+\sin x}{2\sin \frac{x}{2}}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{2\sin \frac{x}{2}}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sin x}{2x\sin \frac{x}{2}}=0+1=1\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Annalisa la seguente domanda:

Salve professore,

ho un problema con la seguente equazione differenziale: \[y^{\prime\prime\prime}+ky=0\quad k\in \mathbb{R}\quad .\]

Bisogna determinare le soluzioni al variare di \(k\). Suppongo che si debba stabilire il tipo di soluzione in base al valore di \(k\) (cioè all’intervallo in cui si trova \(k\)) ma non mi è chiaro come procedere nel dettaglio.

Grazie

Le rispondo così:

Cara Annalisa,

si tratta di un’equazione lineare del terzo ordine a coefficienti costanti omogenea, e pertanto le sue soluzioni si ottengono combinando linearmente funzioni del tipo \({{x}^{n}}{{e}^{\lambda x}}\), dove \(\lambda\) è soluzione dell’equazione caratteristica associata, cioè:   \({{\lambda }^{3}}+k=0\). Tale equazione, per \(k\ne 0\), ha sempre una soluzione reale e due soluzioni complesse coniugate, cioè: \[{{\lambda }^{3}}+k=\left( \lambda +\sqrt[3]{k} \right)\left( {{\lambda }^{2}}-\lambda \sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{{{k}^{2}}} \right)=0\to {{\lambda }_{1}}=-\sqrt[3]{k},{{\lambda }_{2,3}}=\frac{\sqrt[3]{k}}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{k}\]

Pertanto, la soluzione generale dell’equazione, nel caso \(k\ne 0\), è data da: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{-\sqrt[3]{k}x}}+{{c}_{2}}{{e}^{\frac{\sqrt[3]{k}}{2}x}}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{k}x \right)+{{c}_{3}}{{e}^{\frac{\sqrt[3]{k}}{2}x}}\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{k}x \right),\quad {{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}\in \mathbb{R}\quad .\]

Nel caso \(k=0\), l’equazione caratteristica ammette \(\lambda =0\) come soluzione di molteplicità \(3\), per cui la soluzione generale dell’equazione è data da: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{0\cdot x}}+{{c}_{2}}x{{e}^{0\cdot x}}+{{c}_{3}}{{x}^{2}}{{e}^{0\cdot x}}={{c}_{1}}+{{c}_{2}}x+{{c}_{3}}{{x}^{2}},\quad {{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}\in \mathbb{R}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

questo esercizio mi crea qualche problema (pag.1386, n.228, Matematica.blu 2.0).

Data la funzione

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} –x\quad\quad |x|<1 \\ |x-2|\quad |x| \ge 1 \end{array} \right.\]

a) rappresenta il grafico di \(f(x)\);

b) determina il dominio e il codominio;

c) studia il segno della funzione;

d) calcola \(f(-1)\), \(f(3)\), \(f(\frac{1}{2})\) e determina le contro immagini di \(0\) e \(-\frac{2}{5}\);

e) \(f(x)\) è una corrispondenza biunivoca?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

la rappresentazione della funzione può essere dedotta dalla seguente riscrittura:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{lll} –x+2\quad x\le -1\vee 1\le x\le 2 \\ -x \quad\quad -1<x<1 \\ x-2 \quad x>2 \end{array} \right.\] da cui si ricava che il dominio è \(D_f=\mathbb{R}\) e il codominio è \({{C}_{f}}=\left\{ y\in \mathbb{R}:y>-1 \right\}\), che la funzione è nulla per \(x=0\) e \(x=2\), negativa nell’intervallo \(0<x<1\), positiva nel resto del dominio. Si ha inoltre: \[f\left( -1 \right)=3,\quad f\left( 3 \right)=1,\quad f\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{1}{2}\] e\[f\left( x \right)=0\leftrightarrow x=0\vee x=2,\quad f\left( x \right)=-\frac{2}{5}\leftrightarrow x=\frac{2}{5}\quad .\]

Infine, essendo chiaramente non iniettiva, \(f(x)\) non può essere biunivoca.

Massimo Bergamini

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gent.mo professore,

ho bisogno del suo aiuto per il seguente problema (pag.8, n.20, Verso la seconda prova di matematica).

Il fiume

Un geologo sta studiando il territorio che circonda un tratto di un fiume. Tale tratto forma un’ansa che può essere rappresentata dalla curva \(OA\) del grafico di \(f(x)=x+\sin(\pi x)\) nell’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\).

a. Traccia la curva \(OA\) nel riferimento \(Oxy\) e ricava l’equazione della retta \(OA\).

b. Ricava l’area del parallelogramma \(PQRS\) in cui risulta inscritta la curva \(OA\), cioè il parallelogramma che ha due lati tangenti alla curva e paralleli alla corda \(OA\) e due lati sulle rette di equazione \(x=0\) e \(x=2\).

c. Perché è garantita l’esistenza di almeno una delle rette tangenti alla curva parallele alla corda \(OA\)?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Paola,

dopo aver osservato che l’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\) corrisponde ad un periodo della funzione \(\sin(\pi x)\), e che la funzione \(f(x)\) è continua e derivabile in \(\left[ 0;2 \right]\), con \(f(0)=0\) e \(f(2)=2\), e che \[f’\left( x \right)=1+\pi \cos \left( \pi x \right)=0\leftrightarrow\]\[\leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{\pi }\arccos \left( -\frac{1}{\pi } \right)\vee {{x}_{2}}=2-\frac{1}{\pi }\arccos \left( -\frac{1}{\pi } \right)\] per cui il grafico presenta un massimo relativo in corrispondenza a \(x_1\) e un minimo relativo in corrispondenza a \(x_2\), si può tracciare un grafico plausibile della funzione, dopo aver osservato anche che tale grafico è necessariamente simmetrico rispetto al punto \((1;1))\), essendo infatti: \[2-y=2-x+\sin \left( \pi \left( 2-x \right) \right)\to y=x-\sin \left( 2\pi -\pi x \right)=x+\sin \left( \pi x \right)\quad .\]

Poiché la retta \(OA\) ha equazione \(y=x\), le tangenti al grafico che delimitano il parallelogramma \(PQRS\) devono avere pendenza \(1\): l’esistenza di almeno una di esse internamente all’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\) è garantita dal teorema di Lagrange. Poniamo pertanto: \[f’\left( x \right)=1\to 1+\pi \cos \left( \pi x \right)=1\to \cos \left( \pi x \right)=0\to x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{3}{2}\] per cui le rette sono tangenti nei punti \(B\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)\) e \(C\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\), e hanno equazioni \(y=x+1\) e \(y=x-1\): il parallelogramma ha base \(PS=2\) e altezza \(SQ=2\), per cui la sua area misura \(4\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Viola la seguente domanda:

Buon giorno Professore,

ho riscontrato dei problemi nello svolgimento di questi integrali (Matematica.blu 2.0 pag.1978: nn.327,335, pag.1969: nn.181,182)

\[\int{\frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx\quad }\int{\frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx\quad }\int{\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx\quad }\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{6}}}}dx\quad .}\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Viola,

nei primi due casi si operano sostituzioni di varaiabile “miste”, cosiddette di Eulero, in modo da eliminare il termine quadratico; nel primo caso, poniamo: \[\sqrt{9{{x}^{2}}-1}=t-3x\to 9{{x}^{2}}-1={{t}^{2}}-6xt+9{{x}^{2}}\to x=\frac{{{t}^{2}}+1}{6t}\to dx=\frac{{{t}^{2}}-1}{6{{t}^{2}}}dt\to \sqrt{9{{x}^{2}}-1}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}\] per cui: \[\int{\frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx}=\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}\cdot \frac{{{t}^{2}}-1}{6{{t}^{2}}}dt}=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t}dt=}\frac{1}{3}\ln \left| t \right|+c=\ln \sqrt[3]{\left| 3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right|}+c\quad .\]

Nel secondo caso, la sostituzione è la seguente: \[\sqrt{{{x}^{2}}+3}=t-x\to {{x}^{2}}+3={{t}^{2}}-2tx+{{x}^{2}}\to x=\frac{{{t}^{2}}-3}{2t}\to dx=\frac{{{t}^{2}}+3}{2{{t}^{2}}}dt\to \sqrt{{{x}^{2}}+3}=\frac{{{t}^{2}}+3}{2t}\] per cui: \[\int{\frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx}=\int{\frac{{{t}^{2}}-4t-3}{2t}\cdot \frac{2t}{{{t}^{2}}+3}\cdot \frac{{{t}^{2}}+3}{2{{t}^{2}}}dt}=\frac{1}{2}\int{\frac{{{t}^{2}}-4t-3}{{{t}^{2}}}dt=}\frac{1}{2}t-2\ln \left| t \right|+\frac{3}{2t}c=\]\[\frac{1}{2}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right)-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+\frac{3}{2\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right)}+c=\frac{{{x}^{2}}+x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x}-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+c=\]\[=\frac{\left( {{x}^{2}}+x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+3 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}-x \right)}{3}-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+c=\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+c\quad .\]

Nel terzo caso, l’integrazione è immediata se si osserva che

\[\int{\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx}=2\int{\frac{1}{2\sqrt{x}\left( 1+x \right)}dx}=2\int{D\left( \arctan \sqrt{x} \right)dx}=2\arctan \sqrt{x}+c\quad .\]

In modo analogo, nel quarto caso, si osserva che la funzione integranda è la derivata di una funzione composta:

\[\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{6}}}}dx}=\frac{1}{3}\int{\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{6}}}}dx}=\frac{1}{3}\int{D\left( \arcsin {{x}^{3}} \right)dx}=\frac{1}{3}\arcsin {{x}^{3}}+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

ho delle difficoltà con le discontinuità delle funzioni, potrebbe aiutarmi? (nn. 743, 752, 753, 754 pag.1550, Matematica.blu 2.0).

\[f\left( x \right)=\ln \left| \frac{2x-1}{x-4} \right|\quad f\left( x \right)=\arctan \frac{2}{x-3}\quad f\left( x \right)=\frac{\tan x}{\left| x \right|}\quad f\left( x \right)=\frac{\sin x}{\left| x+\frac{\pi }{2} \right|-\frac{\pi }{2}}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso la funzione non è definita nei punti \(x=\frac{1}{2}\), dove si annulla l’argomento e quindi sia ha \(\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty\), e \(x=4\), dove si annulla il denominatore della frazione è quindi si ha \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty\): in entrambi i casi possiamo parlare di discontinuità di 2° specie.

Nel secondo caso, poiché \(\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\frac{\pi }{2}\ne \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\frac{\pi }{2}\), \(x=3\) risulta essere un punto di discontinuità di 1° specie.

Nel terzo caso, oltre agli infiniti punti di discontinuità di 2° specie nei quali la tangente non è definita in quanto tendenzialmente infinita, cioè \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\), la funzione presenta in \(x=0\) un punto di discontinuità di 1° specie, essendo \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+1\).

Nell’ultimo caso, poiché la funzione può essere scritta come \(f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\) se \(x\ge -\frac{\pi }{2}\ \wedge \ x\ne 0\), \(f\left( x \right)=-\frac{\sin x}{x+\pi }\) se \(x<-\frac{\pi }{2}\ \wedge \ x\ne -\pi\), si ha una discontinuità di 3° specie sia in \(x=0\), essendo \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\), sia in \(x=-\pi\), essendo \(\underset{x\to -\pi }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{\sin x}{x+\pi } \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t}{t}=1\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gent.mo professore,

ho ancora bisogno del suo aiuto per questo problema in cui non riesco a stabilire le limitazioni della \(x\) (ho indicato con x la dimensione maggiore della targa).

Una targa d’argento ha la forma di un rettangolo di area \(600\;cm^2\). La zona dove va incisa l’iscrizione è anch’essa rettangolare ed è posta a \(2\;cm\) sia dal lato superiore sia dal lato inferiore della targa, lasciando inoltre un bordo di \(3\;cm\) a sinistra e di \(3\;cm\) a destra. Si determinino le dimensioni della targa in modo che sia massima l’area della zona dedicata all’incisione e si calcoli la percentuale dell’area totale da essa occupata.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Paola,

indicata con \(x\) la misura in centimetri del lato con i margini di \(3\;cm\) e con \(y\) la misura in centimetri dell’altro lato, poiché si deve avere \(xy=600\), si ha \(x>6\), da cui, essendo \(y=\frac{600}{x}\), consegue \(y<100\), e \(y>4\), da cui consegue \(x<150\): pertanto, se scegliamo \(x\) come variabile indipendente del problema, si ha la limitazione \(6<x<150\).

L’area utile per l’incisione è data da \[S\left( x \right)=\left( x-6 \right)\left( \frac{600}{x}-4 \right)=624-4x-\frac{3600}{x}\]

la cui derivata \[S’\left( x \right)=\frac{3600-4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\frac{\left( 60+2x \right)\left( 60-2x \right)}{{{x}^{2}}}\] si annulla per \(x=30\), ed è positiva per \(6<x<30\), negativa per \(30<x<150\), per cui tale valore rappresenta il massimo cercato, a cui corrisponde \(y=20\), e un’area utile massima pari a \(S\left( 30 \right)=24\cdot 16=384\ c{{m}^{2}}\), pari al \(64\%\) dell’area totale della targa.

Massimo Bergamini

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

Buon giorno Professore,

potrebbe spiegarmi come risolvere i seguenti esercizi? (pag.1990, nn. 492, 494, Matematica.blu 2.0)

Calcola i seguenti integrali:

\[\int{\ln \left( x-1 \right)dx}\quad \quad \int{\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+4}}dx}\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Andrea,

nel primo caso procediamo con un’integrazione per parti, assumendo l’unità come fattore differenziale: \[\int{\ln \left( x-1 \right)dx}=x\ln \left( x-1 \right)-\int{\frac{x}{x-1}dx}=x\ln \left( x-1 \right)-\int{dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}=\]\[=x\ln \left( x-1 \right)-x-\ln \left( x-1 \right)+c=\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)-x+c\quad .\]

Nel secondo caso osserviamo che la funzione integranda è la derivata di una funzione composta, precisamente:

\[\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+4}}=D\left( 2\sqrt{{{x}^{3}}+4} \right)\] per cui: \[\int{\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+4}}dx}=2\sqrt{{{x}^{3}}+4}+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

ho difficoltà con questi due problemi (pag.1566, nn. 25, 27, Matematica.blu 2.0).

1) Considerata la funzione

\[f\left( x \right)=\frac{\ln \left( \left| 2x+1 \right|-2 \right)}{x-4}\quad :\]

a) determina il dominio;

b) studia il comportamento agli estremi del dominio;

c) dimostra che negli intervalli \(\left[ -3;-\frac{7}{4} \right]\) e \(\left[ \frac{3}{4};3 \right]\) si annulla almeno una volta;

d) calcola le soluzioni di \(f\left( x \right)=0\);

e) traccia il grafico possibile.

2) Dopo aver trovato per quali valori del parametro reale \(k\) la funzione

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin kx}{x}\quad x<0 \\ \frac{x^2-k+1}{x-2}\quad x\ge 0 \end{array} \right.\]

presenta una discontinuità di prima specie con salto \(l=1\) in \(x=0\),

a) determina il dominio;

b) classifica eventuali altri punti di discontinuità;

c) ricerca gli asintoti.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso, la funzione esiste per quei valori di \(x\) tali che \(\left| 2x+1 \right|>2\) e \(x\ne 4\), cioè per \(x\in \left] -\infty ;-\frac{3}{2} \right[\cup \left] \frac{1}{2};+\infty  \right[-\left\{ 4 \right\}\), e pertanto può essere così riscritta: \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\ln(2x-1)}{x-4}\quad x>\frac{1}{2},\;x\ne 4 \\ \frac{\ln(-2x-3)}{x-4}\quad x<\frac{-3}{2} \end{array} \right.\quad .\] Considerando il fatto che l’infinito logaritmico è d’ordine inferiore all’infinito campione \(x\) nel limite per \(x\to +\infty\), si ha: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\quad \underset{x\to -{{\frac{3}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-\infty }{-11/2}=+\infty \]\[\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-\infty }{-7/2}=+\infty \quad \underset{x\to {{4}^{\mp }}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{\ln 7}{{{0}^{\mp }}}=\mp \infty \quad .\]

Poiché: \[f\left( -3 \right)=-\frac{\ln 3}{7}<0\quad f\left( -\frac{7}{4} \right)=\frac{4\ln 2}{23}>0\]\[f\left( \frac{3}{4} \right)=\frac{4\ln 3}{13}>0\quad f\left( 3 \right)=-\ln 5<0\] l’esistenza di almeno uno zero negli intervalli considerati è dimostrata (teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato con variazione di segno); d’altra parte gli zeri della funzione possono essere determinati in modo esatto risolvendo le equazioni seguenti: \[\ln \left( 2x-1 \right)=0\to 2x-1=1\to x=1\quad \ln \left( -2x-3 \right)=0\to -2x-3=1\to x=-2\quad .\]

Nel secondo caso, la funzione presenta una discontinuità di prima specie con salto \(l=1\) in \(x=0\) se e solo se

\(\left| \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) \right|=1\), cioè: \[\left| k-\frac{k-1}{2} \right|=1\to k=1\vee k=-3\quad .\] Il dominio della funzione è \(D=\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}\), per ogni \(k\) reale. Riguardo ai punti di discontinuità, si può dire che:

• per \(k=-1\), in \(x=0\) si ha una discontinuità di III specie, in \(x=2\) una di II specie;
• per \(k=5\), in \(x=0\) si ha una discontinuità di I specie, in \(x=2\) una di III specie;
• per \(k\ne -1\vee k\ne 5\) in \(x=0\) si ha una discontinuità di I specie, in \(x=2\) una di II specie.

Riguardo agli asintoti, qualunque sia il valore di \(k\) l’asse \(y=0\) è asintoto orizzontale e la retta \(y=x-2\) è asintoto obliquo, essendo \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=1\) e \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=2\), mentre la retta \(x=2\) è asintoto verticale purchè sia \(k\ne 5\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Eleonora la seguente domanda:

Caro professore,

volevo chiederle un aiuto per il seguente problema (pag.34, n.114, Verso la seconda prova di matematica, ed. 2016).

Ambrogio vuole ristrutturare il sottotetto della sua casa, che ha le misure indicate a lato. Per ottenere l’abitabilità, l’altezza minima del vano abitabile deve essere di \(1,50\;m\), mentre l’altezza media ponderale (Hmp), cioè il rapporto tra il volume del locale e la superficie del vano abitabile, deve essere di \(2,10\;m\).

a. Per risolvere il problema dell’altezza minima, Ambrogio pensa a un armadio a muro lungo tutta la parete più bassa del locale, in modo da portare l’altezza minima del vano abitabile esattamente a \(1,50\;m\). Calcola la profondità dell’armadio.

b. Con questo armadio, qual è il valore dell’Hmp?

c. Anche con l’inserimento dell’armadio, l’Hmp sarebbe ancora inferiore al parametro di legge. Quale dovrebbe essere la profondità minima dell’armadio affinché il sottotetto rispetti entrambi i parametri?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Eleonora,

consideriamo il profilo della parte più bassa del sottotetto, e indichiamo con \(x\) la profondità dell’armadio, \(0\le x\le 3\), e con \(y\) la differenza tra l’altezza della parete anteriore e quella posteriore dell’armadio stesso: per similitudine, si deduce la proporzione \(y:x=0,6:3\), cioè \(y=0,2x\), per cui: \[1,4+0,2x=1,5\leftrightarrow x=0,5\,m\quad .\]

La superficie calpestabile, in funzione della profondità \(x\) dell’armadio, è data da \(S(x)=5(6-x)\), mentre il volume del vano abitabile corrispondente è dato da: \[V\left( x \right)=5\left( \frac{3\cdot 4,5}{2}+\frac{\left( 3,4+0,2x \right)\left( 3-x \right)}{2} \right)=\frac{118,5-14x-{{x}^{2}}}{2}\,{{m}^{3}}\] e di conseguenza l’indice Hmp è dato in funzione della profondità \(x\) dell’armadio dalla seguente: \[Hmp\left( x \right)=\frac{118,5-14x-{{x}^{2}}}{10\left( 6-x \right)}\,m\quad .\]

Se \(x=0,5\;m\), si ha \(Hmp=\frac{111,25}{55}\approx 2,022\,m\), inferiore al parametro di legge: affinchè l’indice sia adeguato si deve avere: \[\frac{118,5-14x-{{x}^{2}}}{10\left( 6-x \right)}=2,1\to …\to {{x}^{2}}-7x+7,5=0\to {{x}_{1}}=\frac{7+\sqrt{19}}{2}\approx 5,68\,m\vee {{x}_{2}}=\frac{7-\sqrt{19}}{2}\approx 1,32\,m\] e ovviamente il valore accettabile è \(x=1,32\;m\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Davide la seguente domanda:

Gentile professore,

ho difficoltà con il seguente esercizio:

Si vogliono appendere \(9\) fotografie in \(3\) bacheche di diversa forma in modo che una ne contenga \(2\), una \(3\) e una \(4\). Non importa l’ordine delle foto all’interno delle bacheche, ma importa invece la disposizione delle bacheche. Qual è il numero possibile delle distribuzioni?

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Davide,

sperando di ben interpretare il senso del problema, procederei in questo modo. Dette \(A\), \(B\) e \(C\) le diverse bacheche, stabiliamo preliminarmente in quanti modi possiamo distribuire tra di esse la terna di numeri \(2\), \(3\) e \(4\), cioè le quantità di foto presenti in ciascuna bacheca: è chiaro che tale numero è \(6\), poiché abbiamo \(3\) possibilità di assegnare \(2\) foto ad una bacheca, e per ciascuna di queste abbiamo due modi possibili di assegnarne \(3\) all’una e \(4\) all’altra tra le due rimanenti. Prendiamo in considerazione una di queste \(6\) possibilità, ad esempio: \(2\) foto in \(A\), \(3\) in \(B\) e \(4\) in \(C\). Poiché l’ordine delle foto nella bacheca non conta (ma suppongo che le foto siano distinguibili e quindi che conti di quali foto si tratti!), i modi di scegliere tra \(9\) le \(2\) foto da mettere in \(A\) sono \({{C}_{9,2}}=9!/(7!2!)=36\), e per ciascuno di questi vi sono \({{C}_{7,3}}=7!/(4!3!)=35\) modi distinti di riempire la bacheca \(B\): ovviamente, per ogni coppia di modi di riempire \(A\) e \(B\), rimane un solo modo di riempire \(C\) con le rimanenti \(4\) foto; in totale, questa possibilità (\(2\) in \(A\), \(3\) in \(B\) e \(4\) in \(C\)) si può realizzare in \(36\cdot 35=1260\) modi diversi riguardo al riempimento delle bacheche. Se si riflette un minuto, si capisce che anche le altre \(5\) possibilità si possono realizzare nello stesso numero di modi, essendo cambiati soli i nomi delle bacheche destinarie di \(2\), \(3\) o \(4\) foto: il numero totale di distribuzioni distinte delle foto all’interno delle tre bacheche è quindi \(1260\cdot 6=7560\). Resta da considerare la possibilità, per ognuna di queste terne distinte, di essere disposte in ordine diverso sulla parete: poiché le permutazioni di tre elementi sono \(3!=6\), il numero totale di distribuzioni possibili sembra essere: \[7560\cdot 6=45360\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Maria Luisa la seguente domanda:

Buonasera,
ho un problema che non so proprio risolvere, capisco la risposta intuitivamente ma non matematicamente.

Ci sono tre salvadanai identici e contenenti rispettivamente: \(2\) monete d’oro, \(1\) d’oro e l’altra d’argento e \(2\) monete d’oro. Si pesca a caso da un salvadanaio e si trova una moneta d’oro. Qual é la probabilità che anche l’altra moneta sia d’oro ?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Maria Luisa,

si tratta di un esempio di calcolo della probabilità (condizionata) che, sapendo che un dato evento multi-causato si è verificato, ciò sia avvenuto perché si è verificata una o più delle sue cause possibili (teorema di Bayes). Nel nostro caso, l’evento in questione è \(E\)=“la prima moneta estratta è d’oro”, evento unione di tre distinte possibilità (le “cause”): \(E_1\)=”è stato scelto il 1° salvadanaio e la prima estratta è d’oro”, \(E_2\)=” è stato scelto il 2° salvadanaio e la prima estratta è d’oro”, \(E_3\)=” è stato scelto il 3° salvadanaio e la prima estratta è d’oro”; pertanto, poiché la scelta del salvadanaio è casuale, con probabilità \(\frac{1}{3}\) per ciascuna scelta, la probabilità dell’evento \(E\) è data dalla seguente somma:         \[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right)+p\left( {{E}_{3}} \right)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{5}{6}\quad .\]

Ora, poiché l’evento \(E\) è dato per avvenuto, esso costituisce il nuovo “evento universo” (l’evento multi-causato) rispetto a cui rapportare un particolare sotto-evento specifico: nel nostro esempio, la cosa è un po’ indiretta, poiché si tratta di osservare in corrispondenza a quale o quali dei tre eventi \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\) si verificherà che la 2° estrazione sarà di nuovo una moneta d’oro, e facilmente si conclude che questo avverrà necessariamente solo nel caso che si siano verificati o \(E_1\) o \(E_3\), cioè con probabilità complessiva di \(\frac{2}{3}\), probabilità da riferire alla probabilità che si sia verificato \(E\), pertanto, indicando con \(E’\) l’evento “la 2° moneta estratta è d’oro”, la probabilità richiesta è: \[p\left( E’|E \right)=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{4}{5}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Sarah la seguente domanda:

Buongiorno,

mi è stato assegnato questo esercizio, ma non lo so risolvere.

Data la parabola di equazione \(y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}\) e la retta \(y=x\), indica con \(A\) e \(O\) i loro punti di intersezione. Preso un punto \(P\) sul segmento \(OA\), conduci per \(P\) la parallela all’asse \(x\), indicando con \(Q\) il punto di ascissa positiva in cui tale parallela incontra la parabola, e la parallela all’asse \(y\), indicando con \(R\) il punto in cui tale parallela incontra la curva. Determinare \(P\) tale che sia massima la somma delle aree dei triangoli \(POR\) e \(POQ\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Sarah,

con riferimento alla figura, dopo aver determinato \(A(4,4)\) e \(O(0,0)\), indichiamo con \((t,t)\), \(0\le t \le 4\), le coordinate del generico punto \(P\) sul segmento \(OA\). Si osserva che: \[Q\left( 2\sqrt{t},t \right)\quad \quad R\left( t,\frac{1}{4}{{t}^{2}} \right)\] per cui \[\overline{PQ}=2\sqrt{t}-t\quad \quad \overline{PR}=t-\frac{1}{4}{{t}^{2}}\] dove si è potuto evitare di utilizzare valori assoluti poiché nell’intervallo considerato per la variabile \(t\) la relazione d’ordine tra le coordinate dei punti è tale che le precedenti espressioni delle lunghezze dei segmenti sono definite positive. Per il calcolo delle aree dei triangoli \(POR\) e \(POQ\) basta osservare che, preso \(PQ\) come base, l’ordinata \(t\) di \(P\) è l’altezza relativa nel triangolo \(POQ\), e similmente, preso \(PR\) come base, l’ascissa \(t\) di \(P\) è l’altezza relativa nel triangolo \(POR\), per cui: \[{{S}_{POR}}=\frac{1}{2}t\left( t-\frac{1}{4}{{t}^{2}} \right)\quad \quad {{S}_{POQ}}=\frac{1}{2}t\left( 2\sqrt{t}-t \right)\] e quindi la funzione da massimizzare è la seguente: \[S\left( t \right)={{S}_{POR}}+{{S}_{POQ}}={{t}^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{8}{{t}^{3}}\quad .\]

Deriviamo \(S(t)\) e analizziamone segno e zeri: \[S’\left( t \right)=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{8}{{t}^{2}}\to S’\left( t \right)=0\leftrightarrow t=0\vee t=2\sqrt[3]{2}\] e poiché \(S’\left( t \right)>0\) per \(0<t<2\sqrt[3]{2}\), \(S’\left( t \right)<0\) per \(2\sqrt[3]{2}<t<4\), si ha che in corrispondenza a \(t=2\sqrt[3]{2}\) si verifica il massimo cercato, definito dal punto \(P\left( 2\sqrt[3]{2},2\sqrt[3]{2} \right)\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Maria Concetta la seguente domanda:

Buongiorno,

ho di dubbi in merito allo svolgimento del seguente problema (n.445, pag.375, Manuale blu 2.0 di matematica).

Considera la parabola di equazione \(y=8x-x^2\) e il fascio di rette di equazione \(y=2x+h\), dove \(h\) è un parametro reale.

a) Studia, al variare di \(h\), le posizioni relative di retta e parabola.

b) Nel caso in cui la retta è secante, indica con \(P\) e \(Q\) i punti di intersezione e trova la retta \(r\) del fascio tale che le tangenti \(t_1\) e \(t_2\) alla parabola in \(P\) e \(Q\) siano peprpendicolari.

c) Trova le coordinate del punto di intersezione di \(t_1\) e \(t_2\).

d) Calcola l’area del triangolo individuato dalle rette \(t_1\), \(t_2\) e \(r\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Maria Concetta,

poiché l’equazione risolvente il sistema parabola-fascio è \(x^2-6x+h=0\), il cui discriminante è \(9-h\), si ha che la retta del fascio è secante se \(h<9\), tangente se \(h=9\), esterna se \(h>9\). Posto che sia \(h<9\), le ascisse dei punti \(P\) e \(Q\) in cui la retta del fascio interseca la parabola sono date da \({{x}_{1,2}}=3\pm \sqrt{9-h}\), da cui le coordinate di \(P\) e \(Q\) in funzione di \(h\): \[P\left( 3-\sqrt{9-h};\left( 3-\sqrt{9-h} \right)\left( 5+\sqrt{9-h} \right) \right)\] \[Q\left( 3+\sqrt{9-h};\left( 3+\sqrt{9-h} \right)\left( 5-\sqrt{9-h} \right) \right)\quad .\] Per ricavare le equazioni delle tangenti \(t_1\) e \(t_2\) alla parabola nei punti \(P\) e \(Q\) possiamo usare la formula di sdoppiamento: \[\frac{y+{{y}_{0}}}{2}=a{{x}_{0}}x+b\frac{x+{{x}_{0}}}{2}+c\] dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono i coefficienti del trinomio di 2° grado che definisce la parabola e \((x_0;y_0)\) è il punto di tangenza. Pertanto, poiché nel nostro caso \(a=-1\), \(b=8\) e \(c=0\), si ha: \[{{t}_{1}}:\ \frac{y+\left( 3-\sqrt{9-h} \right)\left( 5+\sqrt{9-h} \right)}{2}=\]\[=-\left( 3-\sqrt{9-h} \right)x+4\left( x+3-\sqrt{9-h} \right)\] \[{{t}_{2}}:\ \frac{y+\left( 3+\sqrt{9-h} \right)\left( 5-\sqrt{9-h} \right)}{2}=\]\[=-\left( 3+\sqrt{9-h} \right)x+4\left( x+3+\sqrt{9-h} \right)\] da cui: \[{{t}_{1}}:\ y=2\left( 1+\sqrt{9-h} \right)x+\left( 18-6\sqrt{9-h}-h \right)\] \[{{t}_{2}}:\ y=2\left( 1-\sqrt{9-h} \right)x+\left( 18+6\sqrt{9-h}-h \right)\] e pertanto la condizione di perpendicolarità tra \(t_1\) e \(t_2\) è semplicemente: \[4\left( 1+\sqrt{9-h} \right)\left( 1-\sqrt{9-h} \right)=-1\to 4\left( h-8 \right)=-1\to h=\frac{31}{4}\quad .\] La retta del fascio corrispondente a tale valore di \(h\) è quindi \(8x-4y+31=0\), e le equazioni delle rette \(t_1\) e \(t_2\) sono:  \[{{t}_{1}}:\ y=\left( 2+\sqrt{5} \right)x+\frac{41}{4}-3\sqrt{5}\] \[{{t}_{2}}:\ y=\left( 2-\sqrt{5} \right)x+\frac{41}{4}+3\sqrt{5}\] le quali si intersecano nel punto \(R\) di coordinate \(R\left( 3;\frac{65}{4} \right)\). Il triangolo \(PRQ\) individuato dalle rette \(t_1\), \(t_2\) e \(r\) è rettangolo in \(R\), per cui: \[\overline{PR}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{25}{4}+5+5\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{25}{2}+5\sqrt{5}}\] \[\overline{QR} = \sqrt{\frac{5}{4}+\frac{25}{4}+5-5\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{25}{2}-5\sqrt{5}}\] da cui:  \[{{S}_{PRQ}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25}{2}+5\sqrt{5}}\sqrt{\frac{25}{2}-5\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{625}{4}-125}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5}{4}\sqrt{5}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Viola la seguente domanda:

Buongiorno Professore,

come si può procedere nello svolgimento di questi esercizi (nn. 7, 8, 9 pag.201, Matutor)?

1) Data la parabola di equazione \(y=-2x^2+12x\), trova il rettangolo di area massima inscritto nel segmento parabolico delimitato dall’asse \(x\).

2) Determina il trapezio di area massima inscritto in una semicirconferenza di raggio \(r\).

3) Data la semicirconferenza di diametro \(\overline{AB}=2r\), traccia la retta \(t\) tangente in \(B\) e da un punto \(P\) della semicirconferenza traccia la proiezione \(Q\) su \(t\). Determina la posizione di \(P\) per cui la somma \(\overline{PQ}+\overline{PA}\) è massima.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Viola,

nel primo caso, sia \(AA’BB’\) il rettangolo inscritto nel segmento parabolico definito dall’ascissa \(x\) di \(A\) e \(B\), con \(0\le x\le 3\), essendo \(x=3\) l’asse di simmetria della parabola. Detta \(S(x)\) l’area di tale rettangolo, si ha: \[S\left( x \right)=\left( 6-2x \right)\left( -2{{x}^{2}}+12x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+72x\quad .\] Deriviamo \(S(x)\) e analizziamo zeri e segno della derivata: \[S’\left( x \right)=12{{x}^{2}}-72x+72=0\leftrightarrow x=3\pm \sqrt{3}\] e osserviamo che il massimo richiesto si presenta in \(x=3-\sqrt{3}\), cui corrisponde un’area massima \(S=24\sqrt{3}\).

Nel secondo caso, detta \(h\) l’altezza del trapezio (isoscele) iscritto nella semicirconferenza, si ha che la base minore è data da \(2\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}\), per cui si ha l’area \(S\) del trapezio in funzione di \(h\): \[S\left( h \right)=hr+h\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}\quad 0\le h\le r\quad .\] Deriviamo \(S(h)\) e analizziamo zeri e segno della derivata: \[S’\left( h \right)=\frac{r\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}+{{r}^{2}}-2{{h}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}}=0\leftrightarrow r\sqrt{{{r}^{2}}-{{h}^{2}}}=2{{h}^{2}}-{{r}^{2}}\to \]\[\to 4{{h}^{4}}=3{{h}^{2}}{{r}^{2}}\to h=\frac{\sqrt{3}}{2}r\] valore accettabile e che realizza il massimo richiesto, cioè \(S=\frac{3\sqrt{3}}{4}{{r}^{2}}\).

Nel terzo caso, posto \(x=P\hat{A}B\), con \(0\le x\le \pi/2\) (scelta utile ma non l’unica possibile: ad esempio, si poteva porre \(x=PQ\), con \(0\le x\le 2r\)), si ha: \[\overline{PQ}=\overline{HB}=2r-2r{{\cos }^{2}}x=2r{{\sin }^{2}}x\quad \overline{PA}=2r\cos x\] pertanto la funzione da massimizzare è: \[f\left( x \right)=\overline{PQ}+\overline{PA}=2r{{\sin }^{2}}x+2r\cos x\quad .\] Deriviamo \(f(x)\) e analizziamo zeri e segno della derivata: \[f’\left( x \right)=4r\sin x\cos x-2r\sin x=2r\sin x\left( 2\cos x-1 \right)\]\[f’\left( x \right)=0\leftrightarrow x=0\vee x=\frac{\pi }{3}\left( 2\cos x-1 \right)\]e si osserva che, in base al segno assunto dalla derivata nell’intervallo \(0\le x\le \pi/2\), il massimo cercato corrisponde a \(x=\frac{\pi }{3}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Gabriele la seguente domanda:

Salve professore,

non mi è molto chiaro questo problema di geometria analitica (pag.341, n.288, Matematica.azzurro):
Scrivi l’equazione della parabola \(\gamma\) avente come asse di simmetria la retta di equazione \(x+4=0\) e tangente nell’origine \(O\) alla retta di equazione \(y-4x=0\). Preso un punto \(Q\) sulla parabola e detto \(A\) il punto di intersezione di \(\gamma\) con l’asse \(x\) distinto da \(O\), determina l’area del triangolo \(QOA\) in funzione dell’ascissa di \(Q\) e rappresenta graficamente la funzione ottenuta.

Gli rispondo così:

Caro Gabriele,

le condizioni che definiscono la parabola possono riassumersi nelle seguenti condizioni per i parametri \(a\), \(b\) e \(c\) della stessa: \[-\frac{b}{2a}=-4\quad c=0\quad {{\left( b-4 \right)}^{2}}=0\] da cui l’equazione della parabola: \[y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+4x\quad .\] Si ricava quindi che il punto \(A\) ha coordinate \((-8;0)\), per cui il triangolo \(QOA\) ha base \(OA=8\) e altezza relativa \(QH=|y_Q|=|\frac{1}{2}{{x}^{2}}+4x|\), pertanto la sua area è data dalla funzione \[f\left( x \right)=\frac{1}{2}8\left| \frac{1}{2}{{x}^{2}}+4x \right|=2\left| {{x}^{2}}+8x \right|\]il cui grafico coincide con quello della parabola \(y=2x^2+16\) per  \(x<-8\vee x>0\), con quello della parabola opposta per \(-8\le x\le 0\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

le vorrei chiedere un aiuto su alcuni problemi (pag.1697, nn.689, 691, 692, Matematica.blu 2.0).

1) Scrivi l’equazione della retta tangente alla curva di equazione \(y=\frac{x-1}{x-4}\) nel suo punto di ascissa \(3\) e determina gli altri eventuali punti in cui la tangente è parallela alla precedente.

2) Dimostra che \(x=0\) è un punto angoloso per la funzione \(y=\left| \frac{x}{x+2} \right|\) e determina l’angolo formato dalle due tangenti.

3) Calcola l’area del triangolo definito dall’asse \(x\) e dalle due tangenti alla curva \(y=\ln \sqrt{2{{x}^{2}}-1}\) nei suoi punti di intersezione con l’asse \(x\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso, si tratta di determinare la funzione derivata, \(y’=-\frac{3}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}\), ricavare \(y’\left( 3 \right)=-3\) e \(y\left( 3 \right)=-2\), e dedurre l’equazione della retta tangente: \[y=-3\left( x-3 \right)-2=-3x+7\quad .\] Quindi, posto \(y’\left( x \right)=-3\), si ricava \({{\left( x-4 \right)}^{2}}=1\to x=3\vee x=5\), da cui il secondo punto richiesto: \(\left( 5;4 \right)\).

Nel secondo caso, poiché la funzione e la sua derivata possono essere così riscritte:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x}{x+2}\quad x\le -2\vee x\ge 0 \\ -\frac{x}{x+2}\quad -2<x<0 \end{array} \right.\]

\[f’(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2}{(x+2)^2}\quad x< -2\vee x> 0 \\ -\frac{2}{(x+2)^2}\quad -2<x<0 \end{array} \right.\]

e poiché si può dimostrare che qualora esistano, finiti o infiniti, i limiti destro e/o sinistro della funzione derivata questi coincidono con i limiti destro e/o sinistro del rapporto incrementale, si ha per \(x=0\): \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f’\left( x \right)=-\frac{1}{2}\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f’\left( x \right)=+\frac{1}{2}\] per cui \(x=0\) è un punto angoloso, e l’angolo \(\alpha\) fra le due semi-rette tangenti è tale che \(\tan \alpha =\pi -\arctan \left| \frac{1}{1-1/4} \right|\approx 126,87{}^\circ\).

Nell’ultimo caso, essendo \(y’=\frac{2x}{2{{x}^{2}}-1}\), e poiché le intersezioni della curva con l’asse \(x\) avvengono nei punti di ascissa \(x=\pm 1\), si hanno le rette tangenti: \[y=2x-2\quad y=-2x-2\] che si intersecano nel punto \((0;-2)\), per cui il triangolo da esse definito insieme all’asse \(x\) ha area \(2\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

non ho capito questo problema:

La ditta Molini e Farine ha due magazzini \(A\) e \(B\), distanti tra loro \(18\;km\). I furgoni che servono i clienti se partono dal magazzino \(A\) hanno un costo di \(0,1\,euro /km\), mentre quelli più vecchi che partono dal magazzino \(B\) hanno un costo di esercizio di \(0,2\,euro /km\). Individua la zona in cui è più conveniente il rifornimento dal magazzino \(B\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

se inquadriamo il problema in un riferimento cartesiano in cui \(A\) è l’origine e \(B\) è il punto di coordinate \((18;0)\), possiamo individuare i punti \(P\) del piano in cui è più conveniente il rifornimento da \(B\) come quelli per cui la distanza da \(B\) sia minore della metà della distanza da \(A\), dal momento che il costo per chilometro percorso da \(B\) è il doppio di quello da \(A\), cioè \(P\) deve soddisfare la disequazione \(\overline{PA}>2\overline{PB}\), cioè: \[\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}>2\sqrt{{{\left( x-18 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\to\]\[\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-48x+432<0\quad .\] In altri termini, \(P\) deve risultare interno alla circonferenza di centro \((24;0)\) e raggio \(12\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gent.mo professore,

ho delle difficoltà con alcuni punti di questo esercizio (pag.897, n.361, Matematica.blu 2.0, vol.4).

Nella semicirconferenza di diametro \(AB=2\) e centro \(O\), è condotta la semiretta contenente il raggio \(OQ\) perpendicolare ad \(AB\). Considerato il generico punto \(P\) della semicirconferenza indica con \(H\) la sua proiezione su \(AB\) e con \(L\) il punto della semiretta \(OQ\) tale che l’angolo \(H\hat{P}L\) sia diviso in due parti congruenti dal raggio \(OP\).

a) Esprimi la misura di \(OL\) in funzione dell’angolo \(x=O\hat{P}L\), indicando anche il corrispondente dominio.

b) Determina per quali valori di \(x\) la misura di \(OL\) è maggiore del raggio.

c) Posto \(x=\frac{\pi }{6}\), determina gli angoli formati dalle diagonali del quadrilatero \(OHPL\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

osserviamo che, passando \(P\) da \(Q\) ad \(A\), l’angolo \(x=O\hat{P}L=O\hat{P}H=P\hat{O}L\) passa da \(0\) a tendenzialmente \(\frac{\pi }{2}\), mentre passando da \(Q\) a \(B\) si ha una situazione perfettamente simmetrica, pertanto: \(0<x<\frac{\pi }{2}\). La costruzione geometrica mostra come il triangolo \(POL\) sia isoscele di vertice \(L\) e base \(PO=1\), e quindi come si abbia \(OL=\frac{1}{2\cos x}\). La richiesta che sia \(OL>1\) implica quindi \(0<\cos x<\frac{1}{2}\), da cui \(\frac{\pi }{3}<x<\frac{\pi }{2}\). L’ultima richiesta implica \(OH=\frac{1}{2}\) e \(OL=\frac{\sqrt{3}}{3}\), per cui l’angolo \(\gamma=H\hat{L}O\) ha tangente \(\tan \gamma =\frac{\sqrt{3}}{2}\), e quindi, considerando che \(\gamma\) è necessariamente acuto,  \(\sin \gamma =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\) e \(\cos \gamma =\frac{2}{\sqrt{7}}\). Ne consegue, osservando il triangolo \(LCO\), che:     \[\sin \delta =\sin \left( \frac{\pi }{6}+\gamma  \right)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2\sqrt{7}}\] pertanto, considerando che \(\delta =L\hat{C}O\) è ottuso, si ha \(\delta =L\hat{C}O=\arcsin \frac{5}{2\sqrt{7}}\), \(P\hat{C}L=\pi -\delta =\pi -\arcsin \frac{5}{2\sqrt{7}}\).

Massimo Bergamini