Ricevo da Stefania la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuta a risolvere questi problemi?
1) Sia \(ABC\) un triangolo isoscele di base \(AB\). Preso un punto \(K\) sul lato \(CA\), traccia a partire da \(K\) la parallela ad \(AB\) che intercetta \(CB\) in \(J\); si vengono così a formare un triangolo e un trapezio. Determina a quale distanza da \(A\) deve essere posto il punto \(K\) affinchè risulti minimo il prodotto tra le aree di \(CKJ\) e di \(ABKJ\).
2) Determina i vertici del trapezio isoscele di area massima, inscritto nella parte di piano delimitata dalla parabola di equazione \(y=x^2-10x+18\) e dall’asse \(x\) e avente la base su quest’ultimo.
3) Considera l’ellisse di equazione \(4x^2+y^2=16\) e le rette parallele all’asse \(x\) che la intersecano in \(D\) ed \(E\). Calcola per quali rette realizza l’area minima il triangolo formato dalle tangenti all’ellisse in \(D\) ed \(E\) e dall’asse delle ascisse.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Stefania,
nel primo caso, posto \(AC=l\), e \(x=AK\), con \(0<x<l\), poiché i triangoli \(ABC\) e \(CKJ\) si corrispondono in una similitudine di rapporto \((l-x)/l\), le loro aree stanno in rapporto \({{S}_{ABC}}:{{S}_{CKJ}}={{l}^{2}}:{{\left(l-x \right)}^{2}}\) per cui \[{{S}_{CKJ}}={{S}_{ABC}}\frac{{{\left( l-x \right)}^{2}}}{{{l}^{2}}}\to p\left( x \right)={{S}_{ABJK}}\cdot {{S}_{CKJ}}=\]\[=\left( {{S}_{ABC}}-{{S}_{CKJ}} \right)\cdot {{S}_{CKJ}}=\frac{S_{ABC}^{2}}{{{l}^{2}}}x\left( 2l-x \right){{\left( l-x \right)}^{2}}\] e quindi, derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ha: \[p'\left( x \right)=\frac{2S_{ABC}^{2}}{{{l}^{2}}}\left( l-x \right)\left( 2{{x}^{2}}-4lx+{{l}^{2}} \right)\] per cui la sola soluzione accettabile dell’equazione \(p’\left( x \right)=0\) è \(x=\left( 1-\sqrt{2}/2 \right)l\), che corrisponde al minimo cercato.
Nel secondo caso, determinate le intersezioni \(A\) e \(B\) della parabola con l’asse \(x\), cioè \(A\left( 5-\sqrt{7} \right)\), \(B\left( 5+\sqrt{7} \right)\), posta \(x\) l’ascissa del vertice \(D\) del trapezio, con \(5-\sqrt{7}<x<5\), poiché \(CD=2(5-x)\) e \(HD=|y_D|=-x^2+10x-18\), si ha l’area \(S(x)\) di \(ABCD\):\[S\left( x \right)=\left( \sqrt{7}+5-x \right)\left( -{{x}^{2}}+10x-18 \right)\] e quindi, derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ha: \[S'\left( x \right)=2\left( 3{{x}^{2}}-2\left( 15+\sqrt{7} \right)x+68+10\sqrt{7} \right)\] per cui la sola soluzione accettabile dell’equazione \(S’\left( x \right)=0\) è \(x= 5-\sqrt{7}/3\), che corrisponde al massimo cercato.
Nell’ultimo caso, posto che \(y=k\) sia la retta \(DE\), è sufficiente, per ovvie ragioni di simmetria, considerare \(0<k<4\). Si ricavano dapprima le coordinate di \(D\) e \(E\) in funzione di \(k\): \[D\left( -\frac{\sqrt{16-{{k}^{2}}}}{2},k \right)\quad \quad E\left( \frac{\sqrt{16-{{k}^{2}}}}{2},k \right)\]quindi consideriamo la retta tangente in uno dei due punti (l’altro segue per simmetria), ad esempio \(E\), utilizzando la formula di sdoppiamento: \[\frac{x\sqrt{16-{{k}^{2}}}}{8}+\frac{yk}{16}=1\to 2\sqrt{16-{{k}^{2}}}x+ky-16=0\]da cui ricaviamo, in funzione di \(k\), le intercette \(A\) e \(C\) con l’asse \(y\) e con l’asse \(x\) rispettivamente:\[A\left( 0,\frac{16}{k} \right)\quad \quad C\left( \frac{8}{\sqrt{16-{{k}^{2}}}},0 \right)\]e infine l’area \(S(k)\) del triangolo \(ABC\)e la sua derivata: \[S\left( k \right)=\frac{128}{k\sqrt{16-{{k}^{2}}}}\to S'\left( k \right)=\frac{256\left( {{k}^{2}}-8 \right)}{{{k}^{2}}{{\left( 16-{{k}^{2}} \right)}^{3/2}}}\] per cui la sola soluzione accettabile dell’equazione \(S’\left( k \right)=0\) è \(k= \sqrt{8}\), che corrisponde al minimo cercato.
Massimo Bergamini