Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Salve professore,
ho delle difficoltà nel risolvere questo esercizio.
Si studi la seguente disequazione:\[\left( {{3}^{2x}}-{{3}^{x}}-2 \right)\sqrt{1+{{\log }_{\frac{2}{\pi }}}\left( \arccos \left( \frac{x}{x-1} \right) \right)}\ge 0\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
poiché la radice, se esiste, è non negativa, si tratta di intersecare la condizione di non negatività del radicando con la condizione di non negatività del trinomio esponenziale. Poiché l’arcocoseno esiste se \(-1\le \frac{x}{x-1}\le 1\), cioè se \(x\le \frac{1}{2}\), mentre il logaritmo in base \(\frac{2}{\pi }\) esiste maggiore o uguale a \(-1\) se \[0<\arccos \left( \frac{x}{x-1} \right)\le \frac{\pi }{2}\] cioè se \(0\le \frac{x}{x-1}<1\), vale a dire se \(x\le 0\), possiamo dire che il fattore rappresentato dalla radice esiste, non negativo, se e solo se \(x\le 0\). D’altra parte, il primo fattore è maggiore o uguale a zero se e solo se \({{3}^{x}}\ge 2\), cioè se e solo se \(x\ge {{\log }_{3}}2>0\), mentre è strettamente negativo altrove, in particolare per \(x\le 0\); ne consegue che la disequazione è soddisfatta solamente per quei valori \(x\le 0\) tali che il primo termine si annulli, cioè solamente per \(x=0\).
Massimo Bergamini