Ricevo da Ilaria la seguente domanda:
Professore,
non riesco a risolvere il seguente problema:
Determina la retta comune ai due fasci di equazioni \(y=mx-2m+1\) e \((2-k)x-(k+1)y-3=0\) e indica i relativi valori di \(m\) e \(k\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Ilaria,
scriviamo i fasci in modo da mettere in evidenza le cosiddette generatrici:\[m\left( x-2 \right)-y+1=0\quad \quad k\left( x+y \right)-2x+y+3=0\] da cui si conclude che si tratta di due fasci propri, il primo di centro \(A(2;1)\), il secondo di centro \(B(1;-1)\), per cui la retta comune è necessariamente la retta \(AB\) passante per i centri, cioè \(y=2x-3\), che si ottiene nel primo fascio ponendo \(m=2\), mentre nel secondo tale retta corrisponde alla generatrice “\(k=\infty\)”, cioè non esiste alcun valore finito di \(k\) per il quale la retta del fascio sia questa, ma al crescere del valore assoluto di \(k\) la retta del fascio si avvicina sempre più a questa seconda generatrice.
Massimo Bergamini