Cara Elisa,
la funzione \({{f}_{1}}\) è definita, continua e derivabile su \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), è dispari, non periodica, si annulla infinite volte nei punti della successione \(x=\pm 1/\sqrt{k\pi }\), con \(k\in \mathbb{N}-\left\{ 0 \right\}\), (e di conseguenza cambia segno infinite volte in un intervallo limitato), e in base al teorema del confronto si verifica facilmente che \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)=0\), e anche che \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)=0\), per cui l’asse \(x\) è asintoto orizzontale per il suo grafico. La funzione derivata \({{f}_{1}}’\left( x \right)=\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}}\cos \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\) si annulla nelle infinite soluzioni dell’equazione \({{x}^{2}}\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=2\cos \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\) (soluzioni non determinabili in modo analitico), in corrispondenza alle quali si hanno infiniti massimi e minimi, anch’essi contenuti in un intervallo limitato.
La funzione \({{f}_{2}}\), ovunque definita, continua e derivabile in \(\mathbb{R}\), dispari e non periodica, si annulla infinite volte nei punti della successione \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi\), con \(k\in \mathbb{Z}\), oltre che in \(x=0\), mentre, ad eccezione dei suddetti valori, è positiva per \(x>0\) e negativa per \(x<0\). La funzione non ammette limite per \(x\to \pm\infty\), e quindi non vi sono asintoti. La funzione derivata \({{f}_{2}}’\left( x \right)={{x}^{2}}\cos x\left( 3\cos x-2x\sin x \right)\) si annulla per \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi\), con \(k\in \mathbb{Z}\), dove la funzione presenta dei minimi, in \(x=0\), dove si ha un punto di flesso orizzontale, e nelle infinite soluzioni dell’equazione \(3\cos x=2x\sin x\) (soluzioni non determinabili in modo analitico), in corrispondenza alle quali si hanno infiniti massimi.
La funzione \({{f}_{3}}\), definita, continua e derivabile in \(\mathbb{R}-\left\{ \sqrt[5]{\pi /2+k\pi } \right\}\), con \(k\in \mathbb{Z}\), dispari e non periodica, si annulla infinite volte nei punti della successione \(x=\sqrt[5]{k\pi }\), con \(k\in \mathbb{Z}\), e ammette infiniti asintoti verticali nei punti di non definizione: di conseguenza, non esiste limite per \(x\to \pm\infty\) per la funzione. Si può verificare che la funzione derivata \({{f}_{3}}\left( x \right)=2x\tan \left( {{x}^{5}} \right)+5{{x}^{6}}\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( {{x}^{5}} \right) \right)\) si annulla solamente per \(x=0\), dove si ha un punto di flesso orizzontale.
Infine, la funzione \(f_4\), definita e continua nell’intervallo \(\left[ 0,\sqrt[3]{2} \right]\), né pari, né dispari, né periodica, si annulla per \(x=0\) e \(x=1\), è positiva per \(1<x<\sqrt[3]{2}\), ed è derivabile nell’intervallo \(\left[ 0,\sqrt[3]{2} \right[\); infatti, poiché in \(\left] 0,\sqrt[3]{2} \right[\) si ha \({{f}_{4}}'\left( x \right)=2x\arcsin \left( {{x}^{3}}-1 \right)+\frac{3{{x}^{4}}}{\sqrt{{{x}^{3}}\left( 2-{{x}^{3}} \right)}}\), si verifica che:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{4}}'\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,2x\arcsin \left( {{x}^{3}}-1 \right)+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x\sqrt{{{x}^{3}}\left( 2-{{x}^{3}} \right)}}{2-{{x}^{3}}}=0\to {{f}_{4}}'\left( 0 \right)=0\]\[\underset{x\to \sqrt[3]{2}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{4}}’\left( x \right)=\underset{x\to \sqrt[3]{2}}{\mathop{\lim }}\,2x\arcsin \left( {{x}^{3}}-1 \right)+\underset{x\to \sqrt[3]{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{4}}}{\sqrt{{{x}^{3}}\left( 2-{{x}^{3}} \right)}}=\sqrt[3]{2}\pi +\frac{6\sqrt[3]{2}}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad .\]
Le equazioni implicate nello studio degli zeri e del segno della derivata prima, (e a maggior ragione della derivata seconda) non sono affrontabili con mezzi analitici finiti: una paziente analisi numerica e/o grafica porta a concludere che la funzione presenta un solo punto di minimo, relativo e assoluto, e un punto di flesso obliquo.
Massimo Bergamini