Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho capito questi limiti:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2{{x}^{3}}-5x\ln x+2x\sqrt{x}+1}{2{{x}^{2}}-4x\ln x+\sqrt[3]{x}-4} \right)\left( {{3}^{\frac{x+1}{x}}}-{{3}^{\cos \frac{1}{x}}} \right)\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}-2x\arctan x \right)}^{\frac{1}{x}}}}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso possiamo riscrivere il limite in questo modo:\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2{{x}^{3}}-5x\ln x+2x\sqrt{x}+1}{2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}\ln x+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4x} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{3}^{\frac{x+1}{x}}}-{{3}^{\cos \frac{1}{x}}}}{\frac{1}{x}} \right)=1\cdot \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{3}^{1+t}}-{{3}^{\cos t}}}{t} \right)\]dove il limite unitario del primo fattore consegue da un semplice confronto degli ordini di infinito e la sostituzione operata nel secondo fattore è ovviamente \(t=1/x\). Pertanto il limite si può risolvere in questo modo, ricordando i limiti notevoli:\[\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{3}^{1+t}}-{{3}^{\cos t}}}{t} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\cos t}}\cdot \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{3}^{1+t-\cos t}}-1}{1+t-\cos t} \right)\cdot \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+t-\cos t}{t}=\]\[=3\cdot \ln 3\cdot \left( 1+\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos t}{t} \right)=3\ln 3\quad .\]
Nel secondo caso, è sufficiente osservare che il denominatore tende a \(1\) per concludere che il limite diverge a \(+\infty\), infatti:\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{x}^{2}}-2x\arctan x \right)}^{\frac{1}{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{\ln \left( {{x}^{2}}-2x\arctan x \right)}{x}}}=\]\[={{e}^{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2\ln x}{x}+\frac{1}{x}\ln \left( 1-\frac{2\arctan x}{x} \right) \right)}}={{e}^{0+0}}=1\]per cui: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1}{{{\left( {{x}^{2}}-2x\arctan x \right)}^{\frac{1}{x}}}}\to \frac{+\infty }{1}=+\infty \quad .\]
Massimo Bergamini