Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentilisimo professore,
mi aiuta a risolvere il seguente problema (Matutor, pag. 120 n.9)?
Dopo aver determinato il valore di \(a\) per il quale la retta \(y = x\) è asintoto obliquo destro per la funzione \[f\left( x \right) = \frac{{xe^x + 3x}}{{ae^x - x - 1}}\] per tale valore di \(a\);
a) studia il segno di \(f\left( x \right)\);
b) individua i punti di discontinuità;
c) calcola \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right)\);
d) traccia il grafico probabile.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
poichè \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{e^x + 3}}{{ae^x - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{e^x }}{{ae^x }} = \frac{1}{a}\] la condizione che \(y = x\) sia asintoto obliquo implica necessariamente \(a = 1\), valore per il quale risulta verificata anche la condizione \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) – x} \right) = 0\). Riguardo al segno di \(f\left( x \right)\), tenendo conto che il fattore \(e^x + 3\) è sempre positivo, mentre il denominatore \(e^x – x – 1\) è sempre positivo eccetto che in \(x=0\), dove si annulla (si può dimostrare che la retta \(y = x\) è tangente alla curva \(y = e^x – 1\) nell’origine, e poiché questa è sempre convessa verso l’alto, si ha \(e^x – 1 \ge x\) per ogni \(x\)), si conclude che \(f\left( x \right) > 0\) per \(x > 0\), \(f\left( x \right) < 0\) per \(x < 0\), \(f\left( x \right)\) non definita in \(x = 0\), in cui si ha un asintoto verticale, cioè un punto di discontinuità di 2° specie: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ \pm } \frac{{x\left( {e^x + 3} \right)}}{{e^x - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ \pm } \frac{{e^x + 3}}{{\frac{{e^x - 1}}{x} - 1}} \to \frac{4}{{1^ \pm - 1}} = \frac{4}{{0^ \pm }} = \pm \infty \quad .\] Infine: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 + e^x }}{{ - 1 + \frac{{e^x }}{x} - \frac{1}{x}}} = - 3\]cioè il grafico di \(f\left( x \right)\) ha come asintoto orizzontale sinistro la retta \(y = – 3\). Si può tracciare un grafico probabile di questo tipo:
Massimo Bergamini