Ricevo da Davide la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
avrei bisogno di un aiuto su un problema riguardante i fasci di rette (p. 233, nn.536 e 537 Matematica.blu 2.0). Avrei bisogno di un metodo rigoroso per risolvere il punto c) e il punto b) rispettivamente, sugli altri non ho problemi.
Dato il fascio di rette di equazione \((k+1)x+2(k+1)y-2=0\):
..…
c) determina la retta che, incontrando l’asse \(x\), forma con l’origine un segmento lungo \(\frac{1}{3}\).
Dato il fascio di rette di equazione \((k-3)x+(2k+2)y+1-3k=0\), determina:
…..
b) le rette del fascio che incontrano l’asse \(x\) in un punto \(A\) tale che \(AO=3\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Davide,
in entrambi i casi la strategia è la medesima. Nel primo caso, posto che la retta del fascio (improprio) esiste per ogni \(k \ne – 1\), questa incontra l’asse delle \(x\) nel punto di ascissa \[x = \frac{2}{{k + 1}}\]ottenuta ponendo \(y=0\) nell’equazione del fascio. La distanza di tale punto dall’origine non è altro che il valore assoluto di tale ascissa, per cui la richiesta del punto c) si traduce nella seguente equazione per \(k\):\[\left| {\frac{2}{{k + 1}}} \right| = \frac{1}{3} \to \frac{2}{{\left| {k + 1} \right|}} = \frac{1}{3} \to \left| {k + 1} \right| = 6 \to k + 1 = \pm 6 \to k = 5 \vee k = - 7\;.\]Ne consegue che le rette del fascio che soddisfano alla richiesta sono due, cioè:\[3x + 6y - 1 = 0\quad \quad 3x + 6y + 1 = 0\quad .\]
Nel secondo caso, posto che la retta del fascio (proprio) incontra l’asse \(x\) solo per \(k\ne 3\), valore per il quale la retta è parallela all’asse \(x\), il punto \(A\) di ordinata nulla della retta del fascio ha ascissa \[x=\frac{3k-1}{k - 3}\] per cui si ha \(AO=3\) se e solo se \[\left| {\frac{{3k - 1}}{{k - 3}}} \right| = 3 \to \frac{{3k - 1}}{{k - 3}} = \pm 3 \to k = \frac{5}{3}\]corrispondente alla retta \(x-4y+3=0\); la seconda retta passante per il centro \((1;1)\) del fascio e tale che \(AO=3\) è proprio la generatrice del fascio \(x+2y-3=0\) corrispondente a \(k=\infty\), ed è per tale motivo che l’equazione precedente presenta una sola soluzione per il parametro \(k\).
Massimo Bergamini