Ricevo da Davide la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
avrei bisogno di un aiuto su un altro quesito riguardante le rette. Si tratta del punto c) del seguente esercizio (n.19, p.239 Matemarica.blu 2.0.):
Date le rette di equazione \(2x+2ay+1-a=0\) e \((a+1)x-ay+1=0\):
a) discuti al variare di \(a\) le posizioni reciproche delle due rette;
b) determina i centri \(C_1\) e \(C_2\) dei fasci individuati da ciascuna equazione;
c) considera il punto \(P\) di ascissa \(3\) sull’asse del segmento \(C_1C_2\) e determina i raggi \(r\) e \(R\) delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo \(C_1C_2P\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Davide,
dopo aver riconosciuto che i centri dei due fasci propri sono rispettivamente i punti \({{C}_{1}}\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)\) e \({{C}_{1}}\left( -1,-1 \right)\), e che per \(a=0\) o per \(a=-2\) le rette dei due fasci sono parallele, altrimenti sono incidenti, consideriamo l’equazione dell’asse del segmento \(C_1C_2\), cioè\[y=-\frac{1}{3}\left( x+\frac{3}{4} \right)-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\] per cui il punto \(P\) ha coordinate \(\left( 3,-\frac{3}{2} \right)\). Per individuare i raggi \(r\) e \(R\) potremmo procedere in questo modo: ricaviamo una bisettrice \(s\) interna al triangolo \(C_1C_2P\), ad esempio quella dell’angolo di vertice \(C_2\), e l’asse \(t\) di un lato, ad esempio \(C_2P\), quindi intersechiamo tali rette con l’asse del segmento \(C_1C_2\), che è anche bisettrice dell’angolo di vertice \(P\), ottenendo rispettivamente i centri \(O_I\) (incentro) e \(O_C\) (circocentro) delle circonferenze inscritta e circoscritta, da cui poi i raggi \(r=O_IM\) e \(R=O_CC_2\), essendo \(M\left( -\frac{3}{4},-\frac{1}{4} \right)\) il punto medio di \(C_1C_2\). In alternativa, e con più economia dal punto di vista del calcolo, si può ricordare che il raggio della circonferenza inscitta ad un triangolo è dato dal rapporto tra area e semiperimetro, per cui, calcolando l’area di \(C_1C_2P\) per sottrazione dall’area del rettangolo a lati paralleli agli assi, si ottiene:\[r=\frac{S}{p}=\frac{25}{8}:\left( \frac{2\sqrt{65}+\sqrt{10}}{4} \right)=\frac{2\sqrt{65}-\sqrt{10}}{20}\quad . \] Riguardo ad \(R\) si procede come indicato, ottenendo l’equazione dell’asse \(t\), \(y=8x-\frac{37}{4}\), e l’intersezione con l’asse di \(C_1C_2\), cioè \({{O}_{C}}\left( \frac{21}{20},-\frac{17}{20} \right)\), per cui: \[R={{O}_{C}}{{C}_{2}}=\sqrt{{{\left( \frac{41}{20} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{20} \right)}^{2}}}=\frac{13\sqrt{10}}{20}\quad .\]
Massimo Bergamini