Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Caro professore,
vorrei sapere perché non esiste il seguente limite:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sin \left( \frac{\pi }{x} \right)\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
il limite in questione è un classico esempio di comportamento “oscillante”, e quindi di non esistenza del limite, che riproduce in un limite finito quello che avviene per le funzioni periodiche, come appunto \(\sin x\), nel limite per \(x\) che tende ad infinito. Per dimostrare che tale limite non esiste è sufficiente esibire due distinte restrizioni della funzione a due diversi sottoinsiemi del dominio del tipo successioni convergenti a \(0\) tali che i limiti per \(x\) tendente a \(0\) di tali restrizioni siano diversi, dal momento che l’esistenza del limite implicherebbe l’uguaglianza dei limiti effettuati per una qualsiasi restrizione del tipo suddetto. Non è difficile individuare due esempi, nel nostro caso: consideriamo, ad esempio, le due restrizioni\[{{f}_{1}}\left( {{x}_{k}} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{{{x}_{k}}} \right)\quad {{x}_{k}}=\frac{2}{1+4k},\ k\in \mathbb{Z}\]\[{{f}_{2}}\left( {{x}_{h}} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{{{x}_{h}}} \right)\quad {{x}_{h}}=\frac{2}{-1+4h},\ h\in \mathbb{Z}\]per le quali si verifica facilmente che: \[\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{1+4k}=\underset{h\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{-1+4h}=0\]\[{{f}_{1}}\left( {{x}_{k}} \right)=\sin \left( \frac{\pi \left( 1+4k \right)}{2} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=1\quad \forall k\in \mathbb{Z}\]\[{{f}_{2}}\left( {{x}_{h}} \right)=\sin \left( \frac{\pi \left( -1+4h \right)}{2} \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{2}+2h\pi \right)=-1\quad \forall h\in \mathbb{Z}\]da cui:\[\underset{{{x}_{k}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( {{x}_{k}} \right)=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( {{x}_{k}} \right)=1\ne \underset{{{x}_{h}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( {{x}_{h}} \right)=\underset{h\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( {{x}_{h}} \right)=-1\]
come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini