Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
le sottopongo questi due problemi:
1) Una piramide ha base quadrata \(ABCD\) di lato \(a\), vertice \(V\) e altezza condotta dal punto medio \(H\) del lato \(AB\) in modo che sia \(VH=2a\). Condotto per un punto \(K\) di \(VH\) un piano \(\alpha\) parallelo al piano di base, indica con \(A’B’C’D’\) il poligono staccato da \(\alpha\) sulla piramide \(VABCD\).
a) Calcola tutti gli spigoli della piramide assegnata e l’angolo che ciascuno forma con il piano di base.
b) Nel caso in cui \(K\) sia il punto medio di \(VH\), calcola il rapporto tra i volumi delle piramidi \(VABCD\) e \(VA’B’C’D’\).
c) Determina per quale posizione di \(K\) il prisma che ha per basi \(A’B’C’D’\) e la sua proiezione sulla base della piramide è un cubo.
2) È assegnato un cubo i cui spigoli hanno misura \(2a\). Sulla retta passante per i centri delle facce opposte \(ABCD\) e \(A’B’C’D’\) prendere, esternamente al cubo, un punto \(V\) a distanza \(a\) dalla faccia \(A’B’C’D’\). Tracciare le semirette di origine \(V\) passanti per i punti \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) e indicare con \(A’’\), \(B’’\), \(C’’\), \(D’’\) le loro intersezioni con il piano della faccia \(ABCD\).
a) Il quadrilatero \(A’’B’’C’’D’’\) è un quadrato? Perché?
b) Calcolare il rapporto tra il volume della piramide di vertice \(V\) e base \(A’’C’’B’’D’’\) e il volume del cubo. Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
in entrambi i casi, il punto \(V\) è il centro di una omotetia, attraverso la quale i vertici di una figura di un dato piano vengono proiettati nei corrispondenti vertici di una figura simile appartenente ad un piano parallelo al primo: in tale trasformazione, detto \(k\) il fattore di similitudine, cioè il rapporto tra gli elementi lineari corrispondenti delle figure, le aree delle figure corrispondenti hanno rapporto \(k^2\), mentre i volumi hanno rapporto \(k^3\).
Nel primo caso, considerando i traingoli rettangoli \(VAH\) , \(DAH\) e \(VDH\), e osservando che gli angoli \(\alpha =V\hat{A}H\cong V\hat{B}H\) e \(\beta =V\hat{D}H \cong V\hat{C}H\) sono gli angoli che gli spigoli della piramide \(VABCD\) formano con il piano di base, si ha: \[VA\cong VB=\frac{\sqrt{17}}{2}a\quad VD\cong VC=\frac{\sqrt{21}}{2}a\] \[\alpha =\arctan 4\approx 75,96{}^\circ \quad \beta =\arctan \frac{4\sqrt{5}}{5}\approx 60,79{}^\circ \quad .\]
Per quanto detto riguardo alle omotetie in generale, è chiaro che, nel caso in cui sia \(k=VH/VK=2\), si ha che il rapporto tra i volumi delle piramidi \(VABCD\) e \(VA’B’C’D’\) è \({{k}^{3}}=8\).
Infine, posto \(x=VK\), poiché \[\frac{VK}{A'K}=\frac{VH}{AH}=4\to A'K=\frac{x}{4}\] si ha che il prisma in questione è un cubo se e solo se \(2A’K=VH-VK\), cioè se e sole se \[\frac{x}{2}=2a-x\to VK=x=\frac{4}{3}a\quad .\]
Nel secondo problema, è chiaro da quanto detto sulle omotetie che il quadrilatero \(A’’B’’C’’D’’\) è un quadrato in quanto corrispondente del quadrato \(A’B’C’D’\) nell’omotetia di centro \(V\) e rapporto \(k=VO/VO’=3\), e anche che, essendo il volume della piramide \(VA’B’C’D’\) pari a \(\frac{4}{3}{{a}^{3}}\), il volume della piramide \(VA’’C’’B’’D’’\) è \(27\) volte maggiore, cioè è pari a \(36{{a}^{3}}\): poiché il cubo ha un volume di \(8{{a}^{3}}\), il rapporto richiesto è \(\frac{9}{2}\).
Massimo Bergamini
