Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Salve professore,
vorrei chiederle un aiuto circa il seguente problema:
dimostra che l’equazione \(x^5+x^3+1=0\) ammette un’unica radice reale.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
innanzitutto l’equazione ammette sicuramente almeno una radice reale, come avviene per ogni equazione polinomiale \({{P}_{n}}\left( x \right)=0\) in campo reale di grado \(n\) dispari, e questo può essere motivato in almeno due modi distinti: 1) in base al teorema di permanenza del segno, poiché o \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{P}_{n}}\left( x \right)=+\infty\) e \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{P}_{n}}\left( x \right)=-\infty\) o viceversa, esistono sicuramente un \(a\) e un \(b\) tali che o \({{P}_{n}}\left( a \right)>0\) e \({{P}_{n}}\left( b \right)<0\) o viceversa, cioè comunque nell’intervallo chiuso e limitato \(\left[ a,b \right]\) la funzione \({{P}_{n}}\left( x \right)\) è continua ed assume valori opposti negli estremi, da cui, in base al teorema di esistenza degli zeri, si ricava che esiste almeno un \({{x}_{0}}\in\left] a,b \right[\) tale che \({{P}_{n}}\left( {{x}_{0}} \right)=0\); 2) in base al teorema algebrico che assicura, per un’equazione polinomiale di grado \(n\) a coefficienti reali, l’esistenza di soluzioni complesse a coppie di coniugati, per cui se \(n\) è dispari si deve avere almeno una soluzione che sia coniugata di se stessa, cioè reale. Riguardo all’unicità, questa si deduce dal fatto che la funzione è monotona strettamente crescente, essendo la sua derivata, cioè il polinomio \(5x^4+3x^2\), strettamente positiva in tutto \(\mathbb{R}\), con l’eccezione di un insieme finito di punti (uno, \(x=0\)) in cui è nulla (in generale la monotonia si avrebbe anche con derivata ovunque positiva nel dominio con l’eccezione persino di una infinità numerabile di punti di annullamento…).
Massimo Bergamini
