Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Buongiorno,
Le chiedo gentilmente aiuto per il seguente esercizio (n.350, pag.2061, Matematica.blu 2.0):
Data la parabola di equazione \(y=-4x^2+8x\), traccia le tangenti \(t_1\) e \(t_2\) nei suoi punti \(O\) e \(A\) di ascissa \(0\) e \(3/2\). Detto \(B\) il punto di intersezione delle due rette, determina il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse \(x\) del triangolo mistilineo \(OBA\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Francesca,
posto che le tangenti in questione sono le rette \({{t}_{1}}:y=8x\) e \({{t}_{2}}:y=-4x+9\), e che queste si incontrano nel punto \(B(3/4,6)\), possiamo ricavare il volume \(V\) del solido in questione nel modo seguente: \[V=\pi \int\limits_{0}^{3/4}{64{{x}^{2}}dx}+\pi \int\limits_{3/4}^{3/2}{{{\left( -4x+9 \right)}^{2}}dx}-\pi \int\limits_{0}^{3/2}{{{\left( -4{{x}^{2}}+8x \right)}^{2}}dx}=\]\[=\pi \left[ \frac{64}{3}{{x}^{3}} \right]_{0}^{3/4}+\pi \left[ \frac{16}{3}{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+81x \right]_{3/4}^{3/2}-\pi \left[ \frac{16}{5}{{x}^{5}}+\frac{64}{3}{{x}^{3}}-16{{x}^{4}} \right]_{0}^{3/2}=\]\[\frac{189}{20}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini