Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
mi aiuti a capire questo quesito:
Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse delle ordinate della regione di piano compresa tra la parabola di equazione \(y=-x^2+4x\) e le rette \(y=1\), \(y=3\) e \(x=2\).
Se invece voglio trovare il volume del solido che si ottiene ruotando la regione attorno all’asse delle ascisse, come si procede? Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la rotazione attorno all’asse delle ordinate genera un solido il cui volume \(V_y\) si può ottenere sottraendo il volume del solido generato dalla rotazione dell’arco \(AD\) al volume di un cilindro di raggio di base \(2\) e altezza \(2\). Tenendo presente che l’integrazione va condotta rispetto alla variabile \(y\), si deve considerare l’equazione dell’arco \(AD\) come funzione \(x(y)\), cioè si deve invertire la relazione \(y=-{{x}^{2}}+4x\), facendo la giusta scelta del segno davanti alla radice: \(x=2-\sqrt{4-y}\); ne consegue: \[{{V}_{y}}=8\pi -\pi {{\int\limits_{1}^{3}{\left( 2-\sqrt{4-y} \right)}^2}}dy=\]\[=8\pi -\pi \int\limits_{1}^{3}{\left( 8-y-4\sqrt{4-y} \right)}dy=\]\[=8\pi -\pi \left[ 8y-\frac{1}{2}{{y}^{2}}+\frac{8}{3}{{\left( 4-y \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]_{1}^{3}=\]\[=\frac{4}{3}\pi \left( 6\sqrt{3}-5 \right)\approx 2,54\quad .\]Per quanto riguarda il volume \(V_x\) che si ottiene ruotando intorno all’asse delle ascisse, possiamo pensarlo come somma di due volumi: il primo è quello del solido ottenuto ruotando il sottografico dell’arco \(AD\), privato di un cilindro, il secondo è quello di un “anello” cilindrico, il cui volume è \(8\pi\): \[{{V}_{x}}=\pi {{\int\limits_{2-\sqrt{3}}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+4x-1 \right)}^2}}dx+8\pi =\pi \int\limits_{2-\sqrt{3}}^{1}{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+18{{x}^{2}}-8x+1 \right)}dx+8\pi =\]\[=\pi \left[ \frac{1}{5}{{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x \right]_{2-\sqrt{3}}^{1}=\frac{24\sqrt{3}-36}{5}\pi \approx 3,5\quad .\]
Massimo Bergamini