Ricevo da Giovanna la seguente domanda:
Salve, ho incontrato delle difficoltà a risolvere il seguente quesito (n.183, p.1381, Matematica.blu 2.0, vol.5):
Studia il segno della seguente funzione nel suo dominio:\[y=\frac{\sin x}{\sqrt{1-\tan x}}\quad .\]
Non riesco a capire perchè il dominio viene ridotto ad un solo intervallo anzichè scrivere le due soluzioni che si ottengono da \(\tan x<1\).
La ringrazio anticipatamente.
Le rispondo così:
Cara Giovanna,
le soluzioni in \(\mathbb{R}\) della disequazione \(\tan x<1\) possono essere espresse a partire dall’intervallo \(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{4}\), aggiungendo agli estremi multipli interi del periodo della tangente, per cui il dominio risulta essere \(D=\left] -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi \right[,k\in \mathbb{Z}\) (\(\tan x = 1\) ha una sola soluzione, \(\pi/4\), nel periodo \(\pi\) della tangente, quella che tu chiami seconda soluzione è ottenibile dalla successione \(\pi/4+k\pi\) per \(k=1\): quindi basta l’intervallo indicato per ottenere tutti gli infiniti intervalli che costituiscono il dominio della funzione).
Riguardo al segno della funzione, è sufficiente considerare il segno di \(\sin x\) negli intervalli del dominio compresi in un periodo della funzione seno, positivo per \(x\) appartenente a \(\left] 0,\frac{\pi }{4} \right[ \cup \left] \frac{\pi }{2}, \pi \right[ \), concludendo che la funzione è positiva nell’insieme \[\left] 2k\pi,\frac{\pi }{4}+2k\pi \right[ \cup \left] \frac{\pi }{2}+2k\pi,\pi + 2k\pi \right[,\;k\in \mathbb{Z} \quad .\]
Massimo Bergamini