Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non sono riuscita a capire i seguenti esercizi (n.21, n.24, n.25, n.26, n.28 pag.1615 Matematica.azzurro vol.5):
1) Determina l’espressione per la distanza di un punto \(H\left( x;y;z \right)\) da ciascuno degli assi coordinati.
2) Dato il triangolo di vertici \(A\left( 4;-2;3 \right)\), \(B\left(-2;2;1 \right)\), \(C\left(1;2;6 \right)\), verifica che è isoscele, calcola l’area e determina gli angoli alla base.
3) Verifica che il triangolo di vertici \(A\left(-1;-3;1 \right)\), \(B\left(-1;2;1 \right)\), \(C\left( 2;-\frac{1}{2};3 \right)\) è isoscele e calcola l’area.
3) Verifica che il triangolo di vertici \(P\left(6;0;-1 \right)\), \(Q\left(-1;0;3 \right)\), \(R\left(-1;4;3 \right)\) è rettangolo e determina l’angolo acuto minore.
5) Verifica che il triangolo di vertici \(A\left(4;0;0 \right)\), \(B\left(0;-4;0 \right)\), \(C\left(0;0;-4 \right)\) è equilatero. Determina l’angolo \(\alpha\) che l’altezza \(CH\) forma con il piano \(Oxy\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, con riferimento alla prima figura, puoi osservare che le distanze in questione sono cateti di tre triangoli rettangoli aventi tutti per ipotenusa il segmento \(OH\), e un cateto coincidente rispettivamente con ciascuno dei segmenti che rappresentano le coordinate di \(H\), per cui: \[{{d}_{x}}=\overline{H{{H}_{x}}}=\sqrt{{{\overline{OH}}^{2}}-{{\overline{O{{H}_{x}}}}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}=\]\[=\sqrt{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\]\[{{d}_{y}}=...=\sqrt{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}},{{d}_{z}}=...=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\quad .\]
Nel secondo caso, calcoliamo le lunghezze dei tre lati:\[\overline{AB}=2\sqrt{14}\quad \overline{BC}=\sqrt{34}\quad \overline{AC}=\sqrt{34}\] e concludiamo che il triangolo è isoscele di base \(AB\); detto \(M\) il punto medio di \(AB\), si ha: \[\overline{CM}=\sqrt{34-14}=\sqrt{20}\to {{S}_{ABC}}=\sqrt{14}\cdot \sqrt{20}=2\sqrt{70}\] \[\tan C\hat{A}B=\frac{\overline{CM}}{\overline{AM}}=\frac{\sqrt{70}}{7}\to C\hat{A}B\approx 50,1{}^\circ \quad .\]
Si procede in modo analogo nel terzo caso:
\[\overline{AB}=5\quad \overline{BC}=\frac{1}{2}\sqrt{77}\quad \overline{AC}=\frac{1}{2}\sqrt{77}\]
\[\overline{CM}=\sqrt{13}\to {{S}_{ABC}}=\frac{5}{2}\sqrt{13}\quad .\]
Anche nel quarto caso calcoliamo le lunghezze dei lati e verifichiamo che soddisfano il teorema di Pitagora, dopodiché deduciamo l’angolo acuto richiesto dal valore, ad esempio, della sua tangente:
\[\overline{PQ}=\sqrt{65}\quad \overline{PR}=9\quad \overline{QR}=4\to {{\overline{PR}}^{2}}={{\overline{PQ}}^{2}}+{{\overline{QR}}^{2}}\]
\[\tan Q\hat{P}R=\frac{4\sqrt{65}}{65}\to Q\hat{P}R\approx 26,4{}^\circ \quad .\]
Nell’ultimo caso, dalla misura dei tre lati deduciamo che il triangolo è equilatero: 
\[\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{AC}=4\sqrt{2}\] e quindi che la misura della sua altezza \(CH\) è \[\overline{CH}=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}\]e quindi, osservando che \(CH\) è ipotenusa del triangolo rettangolo \(OHC\), deduciamo che \[\sin \alpha =\frac{\overline{OC}}{\overline{HC}}=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\to \alpha \approx 54,7{}^\circ \quad .\]
Massimo Bergamini