Ricevo da Giovanni la seguente domanda:
Gentile professore,
volevo un chiarimento su questo mio dubbio: se ogni successione convergente è limitata (superiormente e inferiormente), perchè la succesione \(\frac{1}{n}\) converge a \(0\) ma non è limitata superiormente?
Gli rispondo così:
Caro Giovanni,
ma come? Certo che la successione \(\frac{1}{n}\) è limitata anche superiormente, e l’estremo superiore del suo codominio, nonché massimo, è \(1\), poiché ovviamente \[\frac{1}{n}\le 1\quad \forall n\in \mathbb{N}-\left\{ 0 \right\}\]
mentre l’estremo inferiore (ma non minimo) è \(0\), che è anche l’unico punto di accumulazione del codominio e il limite per \(n\to +\infty\). Si può anche affermare che ogni successione limitata e (definitivamente) monotona, come ad esempio \(1/n\), è necessariamente convergente.
Massimo Bergamini