Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho difficoltà nei due seguenti problemi:
1) Di un rombo \(ABCD\) si sa che l’ampiezza dell’angolo in \(A\) è \(60^\circ\). Si consideri la rotazione di centro \(A\) e nella quale \(B\) ha per immagine \(D\), e si indichino con \(C’\), \(D’\) i punti che corrispondono rispettivamente a \(C\), \(D\). Sapendo che l’area del pentagono \(ABCC’D'\) è \(10\sqrt{3}\;m^2\), calcolare il perimetro del rombo.
2) Un punto \(P\) è esterno ad un cerchio di centro \(O\). Condotte per \(P\) le tangenti al cerchio, calcolare l’area del triangolo determinato da tali tangenti e dal diametro perpendicolare alla retta \(PO\), sapendo che le lunghezze del raggio e del segmento \(OP\) sono \(r\) e \(d\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
nel primo caso, la rotazione indicata produce una copia isometrica del rombo che, unita al rombo stesso, forma un poligono che si può vedere come l’unione di quattro triangoli equilateri adiacenti. Unendo \(C\) e \(C’\) si completa un pentagono irregolare, avendo aggiunto il triangolo isoscele \(CDC’\) di lato obliquo \(a\) e il cui angolo al vertice è di \(120^\circ\), pertanto equivalente a ciascuno dei quattro triangoli equilateri di lato \(a\) che costituiscono il resto della figura. In definitiva, ricordando che l’area di un triangolo equilatero è pari al quadrato del suo lato moltiplicato per \(\sqrt{3}/4\), si ha l’equazione: \[5{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}=10\sqrt{3}\to a=2\sqrt{2}\] da cui il perimetro del rombo \(ABCD\): \[2p=8\sqrt{2}\ {{m}^{2}}\quad .\]
Nel secondo caso, osservando che i triangoli \(BOP\) e \(AOP\) hanno per altezza relativa all’ipotenusa i raggi \(OS\) e \(OT\) rispettivamente, e che, per il teorema di Pitagora, posto \(AB=2b\): \[PS=PT=\sqrt{{{d}^{2}}-{{r}^{2}}}\quad BS=AT=\sqrt{{{b}^{2}}-{{r}^{2}}}\] applicando il secondo teorema di Euclide, si ricava, detta \({{S}_{ABP}}\) l’area cercata: \[{{r}^{2}}=\sqrt{\left( {{b}^{2}}-{{r}^{2}} \right)\left( {{d}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}\to {{r}^{4}}={{b}^{2}}{{d}^{2}}-{{b}^{2}}{{r}^{2}}-{{d}^{2}}{{r}^{2}}+{{r}^{4}}\to \]\[\to b=\frac{dr}{\sqrt{{{d}^{2}}-{{r}^{2}}}}\to {{S}_{ABP}}=\frac{{{d}^{2}}r}{\sqrt{{{d}^{2}}-{{r}^{2}}}}\quad .\]
Massimo Bergamini