Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho capito questi problemi:
1) Sia \(ABC\) un triangolo equilatero di lato \(a\). Considera un punto \(P\) sul lato \(AC\) e indica con \(Q\) la sua proiezione ortogonale sul lato \(AB\) e con \(R\) il punto in cui la parallela ad \(AB\) passante per \(P\) incontra il lato \(BC\). Determina \(P\) in modo che il volume del solido generato dalla rotazione del quadrilatero \(PQRB\) intorno alla retta \(AB\) sia massimo.
2) Sia \(ABC\) un triangolo equilatero il cui lato misura \(a\). Considera un punto \(P\) sul lato \(AC\) e traccia da \(P\) la parallela ad \(AB\) e la parallela a \(BC\). Indica con \(Q\) il punto in cui la parallela a \(BC\) interseca il lato \(AB\) e con \(R\) il punto in cui la parallela ad \(AB\) interseca il lato \(BC\). Determina \(P\) in modo che il volume del solido generato da una rotazione completa del parallelogramma \(PQRB\) intorno alla retta \(AB\) sia massimo.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, con riferimento alla figura, posto \(x=QM\), \(0\le x \le a/2\), si ha, per similitudine: \[PQ=\frac{AQ\cdot MC}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( a-2x \right)\] per cui, il volume \(V(x)\) del solido in questione, formato dall’unione di un cilindro di altezza \(PR\) e da un cono di altezza \(BR\), con base comune di raggio \(PQ\), è dato da
\[V\left( x \right)=\frac{3}{4}\pi {{\left( a-2x \right)}^{2}}\left( 2x+\frac{1}{6}\left( a-2x \right) \right)=\]\[=\frac{\pi }{8}\left( 40{{x}^{3}}-36a{{x}^{2}}+6{{a}^{2}}x+{{a}^{3}} \right)\quad .\] Derivando \(V(x)\), considerando segno e zeri di \(V’(x)\), si ottiene: \[V'\left( x \right)=\frac{3\pi }{4}\left( 20{{x}^{2}}-12ax+{{a}^{2}} \right)=0\to\]\[\to {{x}_{\max }}=\frac{a}{10}\quad .\]
Nel secondo caso, con riferimento alla figura, posto \(x=HM\), \(0\le x \le a/2\), si ha, per similitudine: \[PH=\frac{AH\cdot MC}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( a-2x \right)\] per cui, il volume \(V(x)\) del solido in questione, formato da un cilindro di altezza \(PR\) e base di raggio \(PH\) (i coni che si aggiungono e tolgono al cilindro sono isometrici), è dato da \[V\left( x \right)=\frac{3}{4}\pi {{\left( a-2x \right)}^{2}}2x=\frac{3\pi }{2}\left( 4{{x}^{3}}-4a{{x}^{2}}+{{a}^{2}}x \right)\quad .\] Derivando \(V(x)\), considerando segno e zeri di \(V’(x)\), si ottiene: \[V'\left( x \right)=\frac{3\pi }{2}\left( 12{{x}^{2}}-8ax+{{a}^{2}} \right)=0\to {{x}_{\max }}=\frac{a}{6}\quad .\]
Massimo Bergamini