Ricevo da Nolli la seguente domanda:
Salve professore,
come posso risolvere il sequente integrale?
\[\int{\frac{\sin x+2\cos x}{2+\sin x}}\,dx\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Nolli,
si può procedere nel modo seguente:
\[\int{\frac{\sin x+2\cos x}{2+\sin x}}dx=\int{\frac{2+\sin x}{2+\sin x}}dx+2\int{\frac{\cos x}{2+\sin x}}dx-2\int{\frac{1}{2+\sin x}}dx=\]\[=x+2\ln \left( 2+\sin x \right)-2\int{\frac{1}{2+\sin x}}dx\quad .\]
L’ultimo integrale, posto \(\tan \frac{x}{2}=t\),\(dx=\frac{2}{1+{{t}^{2}}}dt\),\(\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}\), diventa:
\[\int{\frac{1}{2+\sin x}}dx=\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+t+1}}dt=\frac{2\sqrt{3}}{3}\int{\frac{2/\sqrt{3}}{1+{{\left( \frac{2t+1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}}dt=\]\[=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{2t+1}{\sqrt{3}} \right)+c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{2\tan \left( x/2 \right)+1}{\sqrt{3}} \right)+c\] per cui, in definitiva, utilizzando anche l’identità \(\tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}\): \[\int{\frac{\sin x+2\cos x}{2+\sin x}}dx=x+2\ln \left( 2+\sin x \right)-\frac{4\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{2\tan \left( x/2 \right)+1}{\sqrt{3}} \right)+c=\]
\[=x+2\ln \left( 2+\sin x \right)-\frac{4\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{2-2\cos x+\sin x}{\sqrt{3}\sin x} \right)+c\quad .\]
Massimo Bergamini