Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego mi aiuti a risolvere questi quesiti:
1) Di un triangolo \(ABC\) si sa che l’angolo di vertice \(A\) è di \(60^\circ\) e che \(AB=2AC\). Dopo aver individuato la natura del triangolo determina un punto \(P\) sul lato \(AB\) in modo che sia verificata la relazione: \(AP+PB=kPC\).
2) Due circonferenze \(\gamma\) e \(\gamma ‘\) di centri \(O\) e \(O’\) e raggi \(r\) e \(r’\) sono tangenti esternamente in \(P\) e si sa che \(OO’=\frac{4}{3}r\). Una retta \(s\) per \(P\) incontra la circonferenza \(\gamma\) in \(Q\) e la perpendicolare in \(O’\) alla retta \(OO’\) in \(N\). Determina l’ampiezza \(x\) dell’angolo formato dalla retta \(s\) e da \(OO’\) in modo che sia verificata la relazione: \(PQ+3PN=kr\). Dette \(H\) e \(H’\) le proiezioni dei centri \(O\) e \(O’\) sulla retta \(s\) indica in quale trasformazione si corrispondono i segmenti \(OH\) e \(O’H’\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto \(AC=a\) e \(AB=2a\), poiché per il teorema dei coseni si ha 
\(BC^2=4a^2+a^2-2a^2=3a^2\), ne consegue che, essendo \(AB^2=AC^2+BC^2\), il triangolo è rettangolo di ipotenusa \(AB=2a\), e \(BC=\sqrt{3}a\). Per il teorema dei seni, si ha inoltre che, posto \(x=B\hat{C}P\), con \(0\le x\le \pi/2\): \[PC:\sin \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}a:\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\] per cui la relazione \(AP+PB=kPC\) si riduce all’equazione: \[\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}k\quad .\] Intersecando il grafico della funzione \(y=\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\) con il fascio di rette \(y=\frac{\sqrt{3}}{4}k\), parallele all’asse \(x\), 
si conclude che il problema ammette una soluzione per \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\le k<2\), due soluzioni per \(2\le k\le \frac{4\sqrt{3}}{2}\).
Nel secondo caso, posto \(x=O’\hat{P}N= O\hat{P}Q \), con \(0\le x< \pi/2\) (il problema è simmetrico rispetto alla retta \(OO’\), per cui ogni soluzione accettabile nell’intervallo \(0\le x< \pi/2\) ne comporta una 
simmetrica nel semipiano opposto), si ha, considerando che \(r’=O’P=\frac{r}{3}\): \[PQ=2r\cos x\quad PN=\frac{r}{3\cos x}\]
per cui la relazione \(PQ+3PN=kr\) comporta la seguente equazione: \[2{{\cos }^{2}}x-k\cos x+1=0\quad .\]
Posto \(X=\cos x\) e \(Y=X^2\), l’equazione diventa equivalente, nel piano \(XY\), al problema di individuare le intersezioni tra l’arco di parabola \(Y=X^2\) compreso tra i punti \(A(0,0)\) e \(B(1,1)\) e il fascio proprio di rette \(Y=\frac{k}{2}X-\frac{1}{2}\), di centro \((0,-1/2)\); si conclude che il problema ammette, 
nell’intervallo \(0\le x< \pi/2\), due soluzioni per \(2\sqrt{2}\le k\le 3\), una soluzione per \(k>3\). Per quanto riguarda la trasformazione che porta il segmento \(OH\) a coincidere con \(O’H’\), si tratta di una omotetia di centro \(P\) e fattore \(-1/3\).
Massimo Bergamini