Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gent.mo professore, ho difficoltà nello svolgimento dei seguenti integrali:
\[\int{\frac{1}{1+{{e}^{3x}}}dx\quad }\int{\frac{\tan x}{1-{{\cos }^{3}}x}dx\quad }\int{\frac{\ln x}{x\sqrt{1-{{\ln }^{2}}x}}dx\quad }.\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
nel primo caso:
\[\int{\frac{1}{1+{{e}^{3x}}}dx}=\int{\frac{1+{{e}^{3x}}}{1+{{e}^{3x}}}dx}-\int{\frac{{{e}^{3x}}}{1+{{e}^{3x}}}dx}=\int{dx}-\frac{1}{3}\int{\frac{3{{e}^{3x}}}{1+{{e}^{3x}}}dx}=x-\frac{1}{3}\ln \left( 1+{{e}^{3x}} \right)+c\quad .\]
Nel secondo caso, posto \(t=\cos x,\ dt=-\sin x\,dx\):
\[\int{\frac{\tan x}{1-{{\cos }^{3}}x}dx=}\int{\frac{\sin x}{\cos x\left( 1-{{\cos }^{3}}x \right)}dx=}\int{\frac{1}{t\left( {{t}^{3}}-1 \right)}dt=}\int{\frac{1}{t\left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}dt=}\]\[=-\int{\frac{1}{t}dt+\frac{1}{3}}\int{\frac{1}{t-1}dt+\frac{1}{3}}\int{\frac{2t+1}{{{t}^{2}}+t+1}dt=-\ln \left| t \right|+}\frac{1}{3}\ln \left| t-1 \right|+\frac{1}{3}\ln \left( {{t}^{2}}+t+1 \right)+c=\]\[\frac{1}{3}\ln \left| {{t}^{3}}-1 \right|-\ln \left| t \right|+c=\frac{1}{3}\ln \left( 1-{{\cos }^{3}}x \right)-\ln \left| \cos x \right|+c\quad .\]
Nell’ultimo caso, posto \(t=\ln x,\ dt=\frac{1}{x}dx\):
\[\int{\frac{\ln x}{x\sqrt{1-{{\ln }^{2}}x}}dx=}\int{\frac{t}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}}dt=}-\int{\frac{-t}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}}dt=}-\sqrt{1-{{t}^{2}}}+c=-\sqrt{1-{{\ln }^{2}}x}+c\quad .\]
Massimo Bergamini