Ricevo da Alessandro la seguente domanda:
Buonasera, siccome non ho capito molto bene questi tipi di esercizi, le chiederei gentilmente di aiutarmi riguardo questi problemi:
1) Data la parabola \(y=-x^2+1\), determina su di essa un punto \(P\) di ordinata positiva in modo che sia minima la somma dei quadrati delle distanze di \(P\) dai punti di intersezione della parabola con l’asse \(x\).
2) Tra tutti i rombi di perimetro \(a\) determina quello di area massima.
3) Date la parabola di equazione \(y=x^2\) e l’iperbole equilatera di equazione \(y=-\frac{4}{x}\), considera sulle due curve due punti \(P\) e \(Q\) con la stessa ascissa \(a>0\). Calcola la distanza \(PQ\) e trova per quale valore di \(a\) essa è minima.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Alessandro,
nel primo caso, posto che \(A(-1,0)\) e \(B(1,0)\) sono le intersezioni della parabola con l’asse \(x\), detto \(P(x,-x^2+1)\) con \(-1\le x \le 1\) il punto dell’arco \(AB\) della parabola, si ha \[f\left( x \right)=P{{A}^{2}}+P{{B}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( -{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( -{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}=2{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+4\] e poiché \[f'\left( x \right)=8{{x}^{3}}-4x=4x\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\]si può osservare che, nell’intervallo \(-1\le x \le 1\), si ha \(f’\left( x \right)=0\) se e solo se \(x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\); tali valori corrispondono entrambi a due minimi relativi per \(f(x)\), essendo entrambi preceduti da valori di \(x\) in cui si ha \(f’\left( x \right)<0\), e seguiti da valori di \(x\) in cui si ha \(f’\left( x \right)>0\).
Nel secondo caso, detta \(x\) una delle semidiagonali del rombo, essendo \(a/4\) la misura di ciascuno dei lati, si ha \(0\le x \le a/4\) e la misura dell’altra semidiagonale, per il teorema di Pitagora, è data da \(\frac{\sqrt{{{a}^{2}}-16{{x}^{2}}}}{4}\), pertanto l’area è espressa dalla funzione: \[f\left( x \right)=\frac{x\sqrt{{{a}^{2}}-16{{x}^{2}}}}{2}\] la cui derivata: \[f'\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-16{{x}^{2}}}-\frac{16{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-16{{x}^{2}}}} \right)=\frac{{{a}^{2}}-32{{x}^{2}}}{2\sqrt{{{a}^{2}}-16{{x}^{2}}}}\] si annulla solo per \(x=\frac{a\sqrt{2}}{8}\), valore corrispondente al massimo cercato, come si deduce dal segno della derivata stessa nell’intervallo \(0\le x \le a/4\). Il valore trovato corrisponde ad un rombo con le semidiagonali uguali, cioè ad un quadrato.
Nell’ultimo caso, detto \(P(a,a^2)\) il punto sulla parabola e \(Q(a,-4/a)\) il punto sull’iperbole, con \(a>0\), la funzione da minimizzare è la seguente: \[f\left( a \right)=\overline{PQ}=\left| {{y}_{P}}-{{y}_{Q}} \right|={{a}^{2}}+\frac{4}{a}\]
per cui: \[f'\left( a \right)=2a-\frac{4}{{{a}^{2}}}=\frac{2\left( {{a}^{3}}-2 \right)}{{{a}^{2}}}=0\leftrightarrow a=\sqrt[3]{2}\]e anche in tal caso l’analisi del segno di \(f’(a)\) in un intorno del valore di annullamento, ci conferma che si tratta del minimo cercato.
Massimo Bergamini