Ricevo da Luisa la seguente domanda:
Sono Luisa e frequento il quarto anno del liceo scientifico.
Riporto qui il testo del problema n.348 di pag.895 di Matematica.blu 2.0:
Considerato il triangolo \(ABC\) avente i lati \(CA=a\) e \(CB=2a\), si costruisca da parte opposta a \(C\), rispetto alla retta \(AB\), il triangolo rettangolo \(ABD\) il cui cateto \(BD\) sia uguale alla metà del cateto \(AB\). Si studi come varia l’area del quadrangolo \(ADBC\) al variare dell’angolo \(A\hat{C}B\) e si calcoli il perimetro di detto quadrangolo quando la sua area è massima.
Premesso che non sappia trovare i minimi e i massimi di una funzione poiché non mi sono ancora state insegnate le derivate, come posso trovare l’area massima? (L’area del quadrangolo ADBC al variare dell’angolo AĈB sono riuscita a trovarla). Grazie.
Le rispondo così:
Cara Luisa,
dal momento che sei riuscita ad ottenere l’area del quadrangolo in funzione dell’angolo \(x=A\hat{C}B\), cioè:
\[S\left( x \right)={{a}^{2}}\left( \sin x-\cos x+\frac{5}{4} \right)\quad \quad 0\le x\le \pi \]
mi limito a suggerirti come individuarne il massimo senza fare ricorso alle derivate: utilizzando la tecnica dell’angolo aggiunto, possiamo osservare che \(S(x)\) è massima quando lo sia l’espressione
\[\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x \right)=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\]
cioè quando sia
\[\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\to x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\to x=\frac{3}{4}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini