Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
cortesemente un aiuto per il seguente esercizio:
Fra tutti i coni inscritti in una sfera di raggio assegnato \(r\), determina quello di area totale massima.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore, 
con riferimento alla figura, considera l’angolo di semiapertura del cono \(x=B\hat{A}O\), con \(0\le x \le \pi/2\), da cui si ricava: \[AB=2r\cos x\quad \quad BH=2r\cos x\sin x=r\sin 2x\]e quindi, detta \(S(x)\) la superficie totale del cono: \[S\left( x \right)=\pi {{r}^{2}}{{\sin }^{2}}2x+2\pi {{r}^{2}}\cos x\sin 2x\quad .\]
Deriviamo la funzione \(S(x)\):\[S'\left( x \right)=4\pi {{r}^{2}}\sin 2x\cos 2x-2\pi {{r}^{2}}\sin x\sin 2x+4\pi {{r}^{2}}\cos x\cos 2x=\] \[=-4\pi {{r}^{2}}\cos x\left( \sin x+1 \right)\left( 4{{\sin }^{2}}x-\sin x-1 \right)\]
per cui il solo valore accettabile di \(x\) per il quale \(S’(x)\) si annulla è tale che: \[\sin x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}\to x\approx 39,82{}^\circ \quad .\] Osservando l’andamento del segno di \(S’(x)\) si conclude che tale valore di \(x\) corrisponde al massimo cercato.
Massimo Bergamini