Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Egregio professore,
potrebbe aiutarmi nella rìsoluzione dei seguenti problemi (n.672 e n.675, pag.1696, Matematica.blu 2.0):
1) Determina l’angolo formato dalle due curve di equazioni \(y={{e}^{{{x}^{2}}-x}}\) e \(y={{e}^{1-{{x}^{2}}}}\) nel loro punto di intersezione di ascissa maggiore.
2) Determina i valori di \(a\) e \(b\) in modo che le curve di equazioni \(y=a{{e}^{1-x}}+b\) e \(y=-\frac{8}{3}{{x}^{2}}+\frac{17}{3}x\), incontrandosi nel punto di ascissa \(1\), formino un angolo di \(45^\circ\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso, messe a sistema le equazioni delle due curve, si ottiene \(2x^2-x-1=0\), la cui 
soluzione maggiore è \(x=1\); deriviamo le due funzioni e calcoliamone la derivata in \(x=1\): \[y'=\left( 2x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-x}}\to y'\left( 1 \right)=1\]\[y'=-2x{{e}^{1-{{x}^{2}}}}\to y'\left( 1 \right)=-2\]quindi determiniamo l’angolo (acuto) \(\alpha\) tra le rette tangenti nel punto comune alle due curve tramite la formula \[\alpha =\arctan \left| \frac{1-\left( -2 \right)}{1+1\cdot \left( -2 \right)} \right|=\arctan 3\approx 71,56{}^\circ \quad .\]
Nel secondo caso, imponendo che le due curve si incontrino nel loro punto di ascissa \(1\), si ha \(a+b=3\), quindi, ricavate le derivate di entrambe in corrispondenza a \(x=1\), cioè \[y'\left( 1 \right)=-a{{e}^{0}}=-a\quad \quad y'\left( 1 \right)=-\frac{16}{3}+\frac{17}{3}=\frac{1}{3}\] la condizione che l’angolo tra le tangneti sia di \(45^\circ\) diventa: \[\left| \frac{\frac{1}{3}+a}{1-\frac{a}{3}} \right|=1\to \frac{3a+1}{3-a}=1\quad \vee \quad \frac{3a+1}{3-a}=-1\to \]\[\to a=\frac{1}{2}\quad \vee \quad a=-2\] a cui corrispondono, rispettivamente: \[b=\frac{5}{2}\quad \vee \quad b=5\quad .\]
Massimo Bergamini