Ricevo da Domenica la seguente domanda:
Gentile professore,
ho questo quesito:
Se l’integrale definito da \(2\) a \(6\) di una funzione \(f(x)\) è uguale a \(2\), si può stabilire qual è l’integrale definito da \(1\) a \(3\) di \(f(2x)\)?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Domenica,
la risposta è sì, infatti, posto \(t=2x\), cioè \(x=\frac{t}{2}\), si ha: \[\int\limits_{1}^{3}{f\left( 2x \right)}\,dx=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{6}{f\left( t \right)}\,dt=\frac{1}{2}\cdot 2=1\quad .\] In generale, come si comprende anche dall’esempio rappresentato in figura, si ha: \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( 2x \right)}\,dx=\frac{1}{2}\int\limits_{2a}^{2b}{f\left( t \right)}\,dt \quad .\]
Massimo Bergamini