Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego mi aiuti a risolvere questo quesito:
Dato un trapezio isoscele di basi \(AB=6\) e \(CD=4\), dimostrare che il segmento congiungente i punti medi delle due diagonali è parallelo alle basi e quindi stabilire quale deve essere l’altezza del trapezio affinché sia verificata la relazione \[QK^2+AB\cdot CD=\frac{56}{9}Area\left( APQK \right)\] dove \(P\) e \(Q\) sono i punti medi delle due diagonali e \(QK\) è l’altezza del trapezio \(ABQP\).
Grazie.
Le rispondo così: 
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, osserviamo che la parallela al lato \(AB\) del triangolo \(ABC\) condotta dal punto medio \(P\) di \(AC\) incontra \(BC\) nel suo punto medio (teorema di Talete), e poiché tale retta è parallela anche al lato \(DC\) del triangolo \(BDC\), per l’inverso del teorema di Talete essa incontra il lato \(DB\) nel suo punto medio, cioè in \(Q\): poiché la retta per due punti, \(P\) e \(Q\), è unica, tale retta coincide con la parallela ipotizzata, da cui la tesi. Se poniamo \(2x=CG\) l’altezza del trapezio \(ABCD\), si ha \(QK=PH=x\), per la similitudine tra i triangoli rettangoli \(ACG\) e \(APH\). Inoltre, \(AH=AG/2=5/2\), da cui \(HK=PQ=AB-2AH=1\), per cui: \[Q{{K}^{2}}+AB\cdot CD=\frac{56}{9}Area\left( APQK \right)\to {{x}^{2}}+24=\frac{56}{9}\cdot \frac{9}{4}x\to \]\[\to {{x}^{2}}-14x+24=0\to x=2\ \vee \ x=12\] cioè \(CG=4\) o \(CG=24\), soluzioni entrambe accettabili.
Massimo Bergamini
