Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentilissimo Professore,
mi può aiutare a risolvere il seguente esercizio (pag.47, n.152, Verso la seconda prova di matematica)?
Un call center riceve mediamente \(\nu\) chiamate al minuto. Il tempo \(T\) tra due chiamate consecutive è una variabile aleatoria che può essere descritta con una densità di probabilità \(f(t)\) definita da:
\[f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \nu e^{-\nu t}\quad se\;t\ge 0 \\ 0\quad\quad\;\; se\;t<0 \end{array} \right. \quad .\]
a. Dimostra che \(P\left( T\le t \right)=1-{{e}^{-\nu t}}\), per \(t\ge 0\).
b. Se \(\nu =2\) chiamate /minuto, qual è la probabilità di attendere più di \(2\) minuti tra una chiamata e la successiva? Approssima il risultato con un numero decimale con quattro cifre dopo la virgola.
c. Sempre supponendo \(\nu = 2\), qual è la probabilità che l’attesa tra una chiamata e la successiva duri tra i \(25\) e i \(35\) secondi? Approssima il risultato con un numero decimale con quattro cifre dopo la virgola.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
innanzitutto verifichiamo che \(f(t)\) è una distribuzione di probabilità ben definita per ogni valore di \(\nu>0\), infatti:
\[f\left( t \right)>0\ \forall t\ge 0\quad \quad \int\limits_{0}^{+\infty }{f\left( t \right)dt=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-{{e}^{-\nu t}} \right)=1\quad .}\] Inoltre, verifichiamo che il valor medio di \(T\), cioè il tempo medio medio, in minuti, che intercorre tra due chiamate: \[\bar{T}=\int\limits_{0}^{+\infty }{t\cdot \nu {{e}^{-\nu t}}dt=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\nu }\left( 1-\left( 1+\nu t \right){{e}^{-\nu t}} \right)=\frac{1}{\nu }}\] è coerente con il fatto che sia \(\nu\) il numero medio di chiamate al minuto. Verifichiamo quindi che: \[P\left( T\le t \right)=\int\limits_{0}^{t}{f\left( t \right)}\,dt=\nu \int\limits_{0}^{t}{{{e}^{-\nu x}}dx=\left( 1-{{e}^{-\nu t}} \right)}\quad .\] Posto in particolare \(\nu =2\), si ha: \[P\left( T\ge 2 \right)=1-\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)}\,dt=1-2\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{-2t}}dt=1-\left( 1-{{e}^{-4}} \right)}={{e}^{-4}}\approx 0,0183\quad .\] Infine: \[P\left( \frac{5}{12}\le T\le \frac{7}{12} \right)=2\int\limits_{5/12}^{7/12}{{{e}^{-2t}}dt=}\left[ -{{e}^{-2t}} \right]_{5/12}^{7/12}=\frac{1}{\sqrt[6]{{{e}^{5}}}}-\frac{1}{\sqrt[6]{{{e}^{7}}}}\approx 0,1232\quad .\]
Massimo Bergamini