Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuterebbe con questi integrali? (p.1978, nn. 328, 330, 334, 343, 344, Matematica.blu 2.0)
\[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-2}}dx\quad }\int{\frac{3}{2\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx\quad }\int{\frac{\sqrt{8-2{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}}dx}\] \[\int{\frac{\sqrt{9-36{{x}^{2}}}}{2}dx\quad }\int{\frac{\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}}dx}\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso operiamo la sostituzione \(\sqrt{4{{x}^{2}}-2}=t-2x\), cioè \(x=\frac{{{t}^{2}}+2}{4t}\), da cui: \[dx=\frac{{{t}^{2}}-2}{4{{t}^{2}}}dt\quad \quad \sqrt{4{{x}^{2}}-2}=t-2x=\frac{{{t}^{2}}-2}{2t}\] e pertanto (tenendo presente che ogni addendo costante può essere “inglobato” nella costante \(c\)): \[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-2}}dx}=\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}-2}\frac{{{t}^{2}}-2}{4{{t}^{2}}}dt=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t}}}dt=\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+c=\]\[=\frac{1}{2}\ln \left| \sqrt{4{{x}^{2}}+2}+2x \right|+c=\frac{1}{2}\ln \sqrt{2}\left| \sqrt{2{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2}x \right|+c=\]\[=\ln \sqrt{\left| \sqrt{2{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2}x \right|}+\frac{1}{2}\ln \sqrt{2}+c=\ln \sqrt{\left| \sqrt{2{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2}x \right|}+c\quad .\]
Nel secondo caso, la sostituzione opportuna è \(t=\sqrt{x}\), cioè \(x={{t}^{2}}\), \(dx=2tdt\), da cui:
\[\int{\frac{3}{2\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=}\int{\frac{6}{2+{{t}^{2}}}dt=}\]\[=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\int{\frac{1}{1+{{\left( t/\sqrt{2} \right)}^{2}}}dt}=3\sqrt{2}\arctan \left( \frac{\sqrt{2x}}{2} \right)+c\quad .\]
Nel terzo caso, la sostituzione opportuna è \(\sin t=\frac{x}{2}\), cioè \(dx=2\cos t dt\), da cui: \[\int{\frac{\sqrt{8-2{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}}dx}=2\int{\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}}}dx=4\int{{{\cos }^{2}}t\,dt}=\]\[=2\int{\left( 1+\cos 2t \right)\,dt}=2t+\sin 2t+c=\]\[=2t+2\sin t\cos t+c=2\arcsin \frac{x}{2}+\frac{x\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{2}+c\quad .\]
Nel quarto caso, analogamente al precedente, la sostituzione opportuna è \(\sin t=2x\), cioè \(2dx=\cos t dt\), da cui: \[\int{\frac{\sqrt{9-36{{x}^{2}}}}{2}dx}=\frac{3}{4}\int{\sqrt{1-{{\left( 2x \right)}^{2}}}}dx=\frac{3}{4}\int{{{\cos }^{2}}tdt}=\] \[=\frac{3}{8}\int{\left( 1+\cos 2t \right)dt}=\frac{3}{8}t+\frac{3}{4}\sin t\cos t+c=\] \[=\frac{3}{8}\arcsin \left( 2x \right)+\frac{3x\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{4}+c\quad .\]
Anche nell’ultimo caso poniamo \(2x=\sin t\), e quindi \(2dx=\cos t dt\), da cui:
\[\int{\frac{\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}}dx}=2\int{\frac{{{\cos }^{2}}t}{{{\sin }^{2}}t}dt}=2\int{\frac{1-{{\sin }^{2}}t}{{{\sin }^{2}}t}dt}=\] \[=2\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}t}dt}-2\int{dt}=-2\frac{\cos t}{\sin t}-2t+c=\] \[=-2\arcsin \left( 2x \right)-\frac{\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}+c\quad .\]
Massimo Bergamini