Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuterebbe con questo esercizio? (p.1979, n. 345 Matematica.blu 2.0)
a) By using substitution \(u=4-\sin x\), or otherwise, find: \[\int{\frac{\cos x}{{{\left( 4-\sin x \right)}^{2}}}dx}\quad .\]
b) Hence, or otherwise, find: \[\int{\frac{\cos 2x}{{{\left( 4-\sin 2x \right)}^{2}}}dx\quad }.\]
UK Northern Examination Assessment Board, NEAB)
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
la sostituzione suggerita trasforma l’integrale nel seguente: \[-\int{\frac{1}{{{u}^{2}}}du}=\frac{1}{u}+c=\frac{1}{4-\sin x}\quad .\]L’integrale richiesto in b) si riduce al precedente, ponendo \(2x=t\):\[\int{\frac{\cos 2x}{{{\left( 4-\sin 2x \right)}^{2}}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{\cos t}{{{\left( 4-\sin t \right)}^{2}}}dt=\frac{1}{2\left( 4-\sin 2x \right)}+c\quad }}.\]
Massimo Bergamini.