Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
ho qualche difficoltà nel calcolare la probabilità richiesta nel seguente problema (n.90, p.51 \(\sigma\), Matematica.blu 2.0):
Un produttore di bulbi garantisce la fioritura al \(90\%\) avendo constatato sperimentalmente che il \(5\%\) di essi non germoglia. I bulbi che pone in commercio sono confezionati in scatole da \(40\) unità. Considera la variabile casuale \(X\)=”numero dei bulbi non fioriti” e determina il valore medio, la varianza, la deviazione standard e la probabilità che una confezione non raggiunga il livello garantito.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
la variabile \(X\) è una tipica variabile bernoulliana, cioè distribuita in modo binomiale, anche se, vista la “rarità” dell’evento in questione, cioè il fatto che sia \(p=0,05\), e la relativa numerosità dei “tentativi”, cioè \(n=40\), si potrebbe approssimare la distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson, con parametro \(\lambda =2\) (=valor medio di \(X\)):
\[p\left( X=x \right)=\left( \begin{matrix} 40 \\ x \\ \end{matrix} \right){{\left( \frac{1}{20} \right)}^{x}}{{\left( \frac{19}{20} \right)}^{40-x}}\approx \frac{{{2}^{x}}}{x!}{{e}^{-2}}\quad 0\le x\le 40\quad .\]
Per definizione, usando la distribuzione binomiale abbiamo i seguenti valori per valor medio, varianza e deviazione standard di \(X\): \[M\left( X \right)=np=40\cdot \frac{1}{20}=2,\ \operatorname{var}\left( X \right)=np\left( 1-9 \right)=1,9,\ \sigma \left( X \right)=\sqrt{\operatorname{var}\left( X \right)}\approx 1,378\] e con l’approssimazione di Poisson: \[M\left( X \right)=\lambda =np=2,\ \operatorname{var}\left( X \right)=\lambda =2,\ \sigma \left( X \right)=\sqrt{\operatorname{var}\left( X \right)}\approx 1,414\quad .\]
La probabilità che una confezione non raggiunga il livello garantito equivale alla probabilità che più del \(10\%\) dei \(40\) bulbi della confezione non fiorisca, cioè che non fioriscano più di \(4\) bulbi: tale probabilità può essere calcolata come \(p=1-p\left( X\le 4 \right)=1-\sum\limits_{x=0}^{4}{p\left( X=x \right)}\) cioè, utilizzando la distribuzione binomiale: \[p=1-\left( \frac{{{19}^{40}}+40\cdot {{19}^{39}}+780\cdot {{19}^{38}}+9880\cdot {{19}^{37}}+91390\cdot {{19}^{36}}}{{{20}^{40}}} \right)\approx 0,048\] o, utilizzando Poisson: \[p=1-{{e}^{-2}}\left( 1+2+2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3} \right)=1-\frac{7}{{{e}^{2}}}\approx 0,053\quad .\]
Massimo Bergamini