Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi può aiutare a risolvere questo problema?
Sia \(AOB\) un settore circolare di centro \(O\) e raggio \(r\), tale che \(\cos(A\hat{O}B)=-7/25\) e \(\pi/2<A\hat{O}B<\pi\). Determinare sull’arco \(AB\) un punto \(P\) in modo che risulti: \(\overline{PH}+\overline{PK}=\frac{4}{25}kr\), \(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\), dove \(H\) e \(K\) sono le proiezioni ortogonali di \(P\) rispettivamente sulla corda \(AB\) e sulla tangente in \(A\) al settore.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
con riferimento alla figura, poniamo \(A\hat{O}B=2\alpha\) e \(A\hat{O}P=2x\), con \(0\le x\le \alpha\), da cui: \[P\hat{A}O=\frac{\pi }{2}-x\quad P\hat{A}K=x\quad P\hat{A}H=\alpha –x\] e quindi: \[AP=2r\sin x\quad PH=AP\sin \left( \alpha -x \right)\]\[PK=AP\sin x=2r{{\sin }^{2}}x\] e poiché \[\cos \alpha =\sqrt{\frac{1-7/25}{2}}=\frac{3}{5}\quad \sin \alpha =\frac{4}{5}\] si ha: \[PH=2r\sin x\left( \frac{4}{5}\cos x-\frac{3}{5}\sin x \right)\quad .\] L’equazione richiesta risulta pertanto: \[\frac{8}{5}\sin x\cos x+\frac{4}{5}{{\sin }^{2}}x=\frac{4}{25}k\to 10\sin 2x-5\cos 2x+5-2k=0\] che, posto \(\cos 2x=X\), \(\sin 2x=Y\), si traduce nel seguente sistema parametrico: \[\left\{ \begin{array}{lll} 10Y-5X+5-2k=0 \\ X^2+Y^2=1 \\ -7/25\le X\le 0, 0\le Y\le 24/25 \end{array} \right. \] da cui, osservando le intersezioni nel piano \(XY\) del fascio improprio di rette \(Y=\frac{1}{2}X+\frac{\left( 2k-5 \right)}{10}\) con l’arco di circonferenza goniometrica di estremi \(A(1;0)\) e \(B\left( -\frac{7}{25},\frac{24}{25} \right)\), si deduce che il problema ammette una soluzione per ogni valore di \(k\) tale che \(0\le k\le 4\).
Massimo Bergamini