Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
ho provato a risolvere il seguente esercizio (n.80, pag.26, Verso la seconda prova di matematica), mi può aiutare?
Data la curva di equazione \(y=x\cdot {{e}^{{{x}^{3}}}}\), considera la regione finita del piano cartesiano delimitata dalla curva, dall’asse delle ascisse e dalla retta di equazione \(x=-1\). Calcola il volume del solido generato da tale regione nella rotazione completa attorno all’asse \(x\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando, 
dal momento che la funzione è negativa per ogni \(x<0\), e nulla per \(x=0\), si tratta di calcolare il seguente integrale definito: \[V=\pi \int\limits_{-1}^{0}{{{x}^{2}}{{e}^{2{{x}^{3}}}}dx}=\frac{\pi }{6}\int\limits_{-1}^{0}{6{{x}^{2}}{{e}^{2{{x}^{3}}}}dx}=\]\[=\frac{\pi }{6}\left[ {{e}^{2{{x}^{3}}}} \right]_{-1}^{0}=\frac{\pi }{6}\left( 1-{{e}^{-2}} \right)\] avendo osservato che la funzione integranda \(y=6{{x}^{2}}{{e}^{2{{x}^{3}}}}\) è la derivata della funzione \(y={{e}^{2{{x}^{3}}}}\).
Massimo Bergamini