Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
un aiuto su questo esercizio (n.149, pag.59\(\sigma\), Matematica.blu 2.0):
Si è rilevato che, in un tratto rettilineo di una strada con limite di velocità di \(90\;km/h\), \(600\) autovetture su \(800\) non hanno rispettato il limite. Considera il passaggio di \(12\) vetture e determina il valor medio, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale \(X=\) “numero di vetture che non hanno rispettato il limite”. Calcola la probabilità che un numero di vetture pari al valor medio non rispetti il limite imposto. Se inoltre si è rilevato che la probabilità che succeda un incidente è dello \(0,8\%\), determina il numero medio degli incidenti che si può prevedere per le \(12\) vetture, la varianza e la probabilità che un numero pari al valor medio delle vetture che non rispettano il limite di velocità abbia un incidente.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
assumendo come probabilità dell’evento: “l’automobile di passaggio supera il limite di velocità” la quantità \(p=\frac{600}{800}=\frac{3}{4}\), deducibile dall’analisi statistica, si può ricavare la distribuzione della variabile \(X\), relativamente al campione di \(12\) autovetture, come tipica distribuzione binomiale: \[p\left( X=x \right)=\frac{12!}{x!\left( 12-x \right)!}{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}}{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{12-x}}\] per cui:
\[M\left( X \right)=p\cdot n=\frac{3}{4}\cdot 12=9\quad \operatorname{var}\left( X \right)=p\left( 1-p \right)\cdot n=2,25\quad \sigma \left( X \right)=\sqrt{\operatorname{var}\left( X \right)}=1,5\ .\]
La probabilità che un numero di vetture pari al valor medio non rispetti il limite imposto è data da: \[p\left( 9 \right)=\frac{12!}{9!3!}{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{9}}{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{3}}\approx 0,258\quad .\]
Se invece abbiamo una probabilità \(p=0,8\%=\frac{1}{125}\) che un’autovettura abbia un incidente, sempre supponendo una distribuzione binomiale, si ha: \[M=12p=\frac{12}{125}\approx 0,096\quad \operatorname{var}=12p\left( 1-p \right)=\frac{12}{125}\cdot \frac{124}{125}\approx 0,095\quad .\]
La probabilità che un numero pari al valor medio delle vetture che non rispettano il limite di velocità abbia un incidente è data da: \[p=\frac{12!}{9!3!}{{\left( \frac{1}{125} \right)}^{9}}{{\left( \frac{124}{125} \right)}^{3}}\approx 2,882\cdot {{10}^{-17}}\quad .\]
Massimo Bergamini