Ricevo da Iris la seguente domanda:
Egregio Professore,
ho serie difficoltà con alcuni esercizi (“Verso la seconda prova di matematica 2016”, n.27, n.28, pag.10):
1) In un piano riferito a un sistema di assi ortogonali \(Oxy\) sono assegnate le rette \(r:\;y=tx\) e \(s:\;y=x+2t\), con \(t\) parametro reale.
a. Determina le coordinate del punto \(P\) intersezione delle rette \(r\) e \(s\) in funzione di \(t\), quindi ricava l’ordinata di \(P\) come funzione \(y=f(x)\) della sua ascissa.
b. Stabilito che la funzione richiesta al punto a. è \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{x-2}\), studiala in modo esauriente, determinando eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativi, flessi, e rappresentala graficamente.
c. Dimostra che dal punto \(C(2;4)\) non può essere condotta nessuna retta che sia tangente al grafico di \(f(x)\).
2) Date le funzioni \(f(x)={{e}^{1-x}}\), \(g(x)=-1-2x\) e i corrispondenti grafici \(\varphi\) e \(\gamma\), determina le coordinate del punto di \(\varphi\) che si trova alla minima distanza da \(\gamma\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Iris,
nel primo caso, mettendo a sistema le due rette si ottiene, per \(t\ne 1\): \[{{x}_{P}}=\frac{2t}{t-1}\quad {{y}_{P}}=\frac{2{{t}^{2}}}{t-1}\] per cui, eliminando il parametro \(t\) tra le due uguaglianze, si ha: \[t=\frac{x}{x-2}\to y=\frac{2{{x}^{2}}}{x-1}\quad .\]
La funzione presenta un asintoto verticale per \(x=2\) e un asintoto obliquo \(y=x+2\); le derivate prima e seconda \[f'\left( x \right)=\frac{x\left( x-4 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\quad f''\left( x \right)=\frac{8}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\]
consentono di individuare un massimo relativo nel punto \((0;0)\) e un minimo relativo nel punto \((4;8)\), e di constatare l’assenza di punti di flesso.
Poiché la retta tangente al grafico di \(f(x)\) in un suo generico punto di ascissa \(t\) ha equazione: \[y=\frac{t\left( t-4 \right)}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}x+\frac{2{{t}^{2}}}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}\]
La condizione di appartenenza a tale retta del punto \(C(2;4)\) implica: \[4=\frac{2t\left( t-4 \right)}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}+\frac{2{{t}^{2}}}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}\to {{t}^{2}}-2t={{\left( t-2 \right)}^{2}}\to t=2\] ma \(t=2\) non è soluzione accettabile, per cui resta dimostrata la tesi.
Nel secondo caso, ricaviamo la distanza \(d(x)\) tra un generico punto \(P(x;{{e}^{1-x}})\) di \(\varphi\) e la retta \(\gamma\): \[d\left( x \right)=\frac{\left| 2x+{{e}^{1-x}}+1 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{2x+{{e}^{1-x}}+1}{\sqrt{5}}\] dove l’eliminazione del valore assoluto è conseguenza della constatazione (grafica) che, per ogni \(x\), si ha \({{e}^{1-x}}>-2x-1\). Derivando la funzione \(d(x)\), uguagliando a \(0\) la derivata e analizzandone il segno, si deduce: \[d'\left( x \right)=\frac{2-{{e}^{1-x}}}{\sqrt{5}}\to d'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=1-\ln 2\] cioè il punto \(P(1-1\ln 2;2)\) rappresenta il punto di \(\varphi\) a distanza nìminima dalla retta \(\gamma\).
Massimo Bergamini