Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Carissimo professore,
ho delle difficoltà nell’impostazione e risoluzione di questo problema (pag.477, n.185, Matematica.blu 2.0):
Dato il fascio di curve di equazione \(\left( k-3 \right){{x}^{2}}+2\left( k-4 \right){{y}^{2}}-5k+\frac{3}{2}=0\), determina per quali valori di \(k\) l’equazione rappresenta un’iperbole e un’iperbole equilatera. Disegna l’iperbole per \(k=\frac{7}{2}\) determinandone fuochi, vertici, asintoti ed eccentricità.
Grazie
Le rispondo così:
Cara Lucia,
posto che sia \(k\ne 3\;\vee k\ne 4\;\vee k\ne \frac{7}{2}\), possiamo riscrivere 
l’equazione del fascio nella forma \[\frac{2\left( k-3 \right)}{10k-3}{{x}^{2}}+\frac{4\left( k-4 \right)}{10k-3}{{y}^{2}}=1\] per cui la condizione che si abbia un’iperbole equivale alla condizione che i coefficienti dei termini quadratici siano di segno opposto, cioè in definitiva che si abbia \[\frac{\left( k-3 \right)\left( k-4 \right)}{{{\left( 10k-3 \right)}^{2}}}<0\to \left( k-3
\right)\left( k-4 \right)<0\to 3<k<4\] e in particolare si ha un’iperbole equilatera se e solo se \[2\left( k-3 \right)=-4\left( k-4 \right)\to k=\frac{11}{3}\quad .\] Per \(k=\frac{7}{2}\) si ha l’iperbole di equazione \[\frac{{{x}^{2}}}{32}-\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\] con fuochi \({{F}_{1,2}}\left( \pm 4\sqrt{3};0 \right)\), vertici \({{V}_{1,2}}\left( \pm 4\sqrt{2};0 \right)\), asintoti \(y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\), eccentricità \(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}\).
Massimo Bergamini