Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
le chiederei se mi potesse dare una mano nello svolgimento di qualche verifica di limiti.
\[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\left( 4-{{x}^{2}} \right)=0\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+1}{x+1}=1\quad \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{x-3}=+\infty \quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
nel primo caso si tratta di individuare, dato un \(\varepsilon >0\) (comunque piccolo), un intorno \({{I}_{\varepsilon }}\left( -2 \right)\) tale che per ogni \(x\in {{I}_{\varepsilon }}\left( -2 \right)\) ad esclusione al più di \(-2\) sia verificata la disequazione \(\left| 4-{{x}^{2}} \right|<\varepsilon \), cioè:\[\left\{ \begin{array}{ll} 4-x^2<\varepsilon \\ 4-x^2>-\varepsilon \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{ll} x^2-(4-\varepsilon)>0 \\ x^2-(4+\varepsilon)<0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{ll} x<-\sqrt{4-\varepsilon}\vee x>\sqrt{4-\varepsilon} \\ -\sqrt{4+\varepsilon} <x< \sqrt{4+\varepsilon} \end{array} \right.\] e tenendo conto che, per ogni \(\varepsilon >0\), \(\sqrt{4+\varepsilon }>\sqrt{4-\varepsilon }\), si ha che l’insieme soluzione del sistema di disequazioni è formato sia da un intorno di \(2\) che da un intorno di \(-2\), come volevasi dimostrare, e precisamente: \[{{I}_{\varepsilon }}\left( -2 \right)=\left] -\sqrt{4+\varepsilon },-\sqrt{4-\varepsilon } \right[\quad .\] Il fatto che l’insieme soluzione della disequazione contenga anche un intorno di \(2\) significa che vale \(0\) anche il limite della stessa funzione per \(x\) che tende a \(2\).
Nel secondo caso si tratta di individuare, dato un \(\varepsilon >0\) (comunque piccolo), un intorno \({{I}_{\varepsilon }}\left( 0 \right)\) tale che per ogni \(x\in {{I}_{\varepsilon }}\left( 0 \right)\) ad esclusione al più di \(0\) sia verificata la disequazione \(\left| \frac{2{{x}^{2}}+1}{x+1}-1 \right|<\varepsilon \), cioè: \[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2{{x}^{2}}-x}{x+1}<\varepsilon \\ \frac{2{{x}^{2}}-x}{x+1}>-\varepsilon \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2{{x}^{2}}-(1+\varepsilon)x-\varepsilon}{x+1}<0 \\ \frac{2{{x}^{2}}-(1-\varepsilon)x+\varepsilon}{x+1}>0 \end{array} \right. \quad .\] Poniamo \[{{\alpha }_{\varepsilon }}=\frac{1+\varepsilon -\sqrt{1+10\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{4}\quad {{\beta }_{\varepsilon }}=\frac{1+\varepsilon +\sqrt{1+10\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{4}\] \[{{\delta }_{\varepsilon }}=\frac{1-\varepsilon -\sqrt{1-10\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{4}\quad {{\gamma }_{\varepsilon }}=\frac{1-\varepsilon +\sqrt{1-10\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{4}\] e verifichiamo che, per ogni \(\varepsilon >0\) e opportunamente piccolo, si ha il seguente ordinamento: \[-1<{{\alpha }_{\varepsilon }}<0<{{\delta }_{\varepsilon }}<{{\gamma }_{\varepsilon }}<\frac{1}{2}<{{\beta }_{\varepsilon }}\] per cui l’insieme soluzione del sistema delle due disequazioni è dato dall’unione di due intorni: \[\left] {{\alpha }_{\varepsilon }}<x<{{\delta }_{\varepsilon }} \right[\cup \left] {{\gamma }_{\varepsilon }}<x<{{\beta }_{\varepsilon }} \right[\] il primo dei quali è l’intorno \({{I}_{\varepsilon }}\left( 0 \right)\) cercato: \[{{I}_{\varepsilon }}\left( 0 \right)=\left] \frac{1+\varepsilon -\sqrt{1+10\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{4}<x<\frac{1-\varepsilon -\sqrt{1-10\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{4} \right[\quad .\] Il fatto che l’insieme soluzione della disequazione contenga anche un intorno di \(1/2\) significa che vale \(1\) anche il limite della stessa funzione per \(x\) che tende a \(1/2\).
Nel terzo caso si tratta di individuare, dato un \(M >0\) (comunque grande), un intorno destro di \(3\), \(I_{M}^{+}\left( 3 \right)\), tale che per ogni \(x\in I_{M}^{+}\left( 3 \right)\) ad esclusione al più di \(3\) sia verificata la disequazione \(\frac{2x-5}{x-3}>M\), cioè: \[\frac{\left( 3M-5 \right)-\left( M-2 \right)x}{x-3}>0\to 3<x<\frac{3M-5}{M-2}\] avendo verificato che, per ogni \(M>0\), \(\frac{3M-5}{M-2}>3\); ne consegue che l’intorno destro che verifica il limite è: \[I_{M}^{+}\left( 3 \right)=\left] 3,\frac{3M-5}{M-2} \right[\quad .\]
Massimo Bergamini