Ricevo da Elena la seguente domanda:
Salve professore,
vorrei chiederle un aiuto sullo studio della seguente funzione: \[y=\frac{{{x}^{2}}}{x-2}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elena,
la funzione, definita, continua e derivabile nel dominio \({{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}\), si annulla solo per \(x=0\) ed è positiva per \(x>2\), altrimenti negativa. La retta \(x=2\) rappresenta un asintoto verticale per il grafico della funzione, essendo \[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{x-2}=-\infty \quad \quad \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{x-2}=+\infty \] mentre la retta \(y=x+2\) rappresenta un asintoto obliquo per lo stesso grafico, poiché: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x}=1\quad \quad \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}}{x-2}-x \right)=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{x-2}=2\quad .\] La derivata prima della funzione, cioè:\[y’=\frac{{{x}^{2}}-4x}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\] si annulla per \(x=0\) e per \(x=4\), corrispondenti rispettivamente ad un massimo relativo, di ordinata nulla, e un minimo relativo, di ordinata \(8\), come si evince dall’analisi dell’andamento del segno della derivata stessa. La derivata seconda: \[y”=\frac{8}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\] essendo negativa per \(x<2\), positiva per \(x>2\), conferma il prevedibile andamento della concavità del grafico, prima rivolta verso il basso poi verso l’alto; in effetti, come si può verificare riscrivendo l’espressione in forma polinomiale, cioè \(x^2-xy+2y=0\), il grafico è quello di un’iperbole non canonica, di centro nel punto \((4;8)\).
Massimo Bergamini